Метод интегрирования по частям для случаев неопределенного и определенного интегралов (вывести формулу). Примеры

Интегрирование - действие, обратное дифференцированию, то каждому правилу дифференцирования должно соответствовать некоторое правило интегрирования.

Пусть и - дифференцируемые функции от х. Имеем: , откуда .

Интегрируя обе части последнего равенства, получим: , или

.

Это и есть формула интегрирования по частям.

Интегрирование по частям состоит в том, что подынтегральное выражение представляется каким-либо образом в виде произведения двух множителей и (последний обязательно содержит ) и согласно формуле данное интегрирование заменяется двумя:

1) при отыскании из выражения для ;

2) при отыскании интеграла от .

Может оказаться, что эти два интегрирования легко осуществляются, тогда как заданный интеграл непосредственно найти трудно.

Правило интегрирования по частям нередко позволяет довести интегрирование до конца.

Пример. Найти .

Решение.

Пример. Найти .

Решение. .

Некоторые типы интегралов, берущиеся посредством формулы интегрирования по частям:

, где - многочлен