Понятие первообразной и неопределенный интеграл

Определение. Функция называется первообразной функцией для функции на промежутке , если в каждой точке этого промежутка .

Пример. является первообразной для , т.к. .

Можно заметить, что если для функции существует первообразная , то она не является единственной. Возвращаясь к примеру, видно, что и функции , и вообще ( - некоторое число) являются первообразными для функции . Таким образом можно сформулировать следующую теорему.

Теорема. Если и - первообразные для функции на некотором промежутке , то найдется такое число , что будет справедливо равенство:

.

Из данной теоремы следует, что, если - первообразная для функции , то выражение вида , где - произвольное число, задает все возможные первообразные для .

Определение. Совокупность всех первообразных функции на промежутке называется неопределенным интегралом от функции и обозначается , где - знак интеграла, - подынтегральная функция, - подынтегральное выражение.

Таким образом:

,

где - некоторая первообразная для , произвольная постоянная.

Определение. Операция нахождения неопределенного интеграла называется интегрированием этой функции.