Понятие об эмпирических формулах и методе наименьших квадратов. Подбор параметров линейной функции (вывод системы нормальных уравнений)

Понятие об эмпирических формулах. Метод наименьших квадратов

Пусть зависимость между двумя переменными выражается в виде таблицы (полученной опытным путем):

Требуется наилучшим образом заменить табличную функцию некоторой аналитической функцией, значения которой возможно мало отличались бы от опытных данных.

Определение. Формулы, служащие для аналитического представления опытных данных, называются эмпирическими формулами.

Построение эмпирической формулы состоит из двух этапов.

1 этап. Необходимо установить вид зависимости , т.е. решить, является ли она линейной, квадратичной, логарифмической, экспоненциальной или какой-либо другой.

Для выбора функции привлекают дополнительные соображения (опыт предшествующих исследований, теоретические выводы и т.д.).

Предположим, что 1 этап завершен (вид функции установлен).

2 этап. Определение неизвестных параметров функции.

Согласно наиболее распространенному и теоретически обоснованному методу наименьших квадратов в качестве неизвестных параметров функции выбирают такие значения, чтобы сумма квадратов невязок , или отклонений «теоретических» значений , найденных по эмпирической формуле , от соответствующих эмпирических значений , т.е.

была минимальной. (8.1)

Пусть в качестве функции взята линейная функция и задача сводится к отысканию таких параметров и , при которых функция (8.1) принимает наименьшее значение.