Дифференцируемость функций одной переменной. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции (доказать теорему)

Понятие дифференцируемости функции

Определение. Функция y=f (x) называется дифференцируемой в точке х, если ее приращение Δ у в этой точке можно представить в виде

,

где А – некоторое число, не зависящее от , а α() – функция аргумента , являющаяся бесконечно малой при →0, т.е.

Выясним теперь связь между дифференцируемостью в точке и существованием производной в той же точке.

Теорема. Для того чтобы функция f (x) была дифференцируемой в данной точке х, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.