Формулы производных основных элементарных функций (одну из формул вывести). Производная сложной функции

Производные основных элементарных функций (таблица производных)

1. Производная логарифмической функции.

А) . Воспользуемся схемой нахождения производных:

1) Дадим аргументу приращение и найдем наращение значений функции .

2) Находим приращение функции .

3) Составляем отношение .

4) Находим предел этого отношения при , т.е. .

Обозначив , найдем и .

В силу непрерывности логарифмической функции, используя 3 свойство функций непрерывных в точке. (Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , то сложная функция непрерывна в точке - ), меняем местами символы предела и логарифма, а затем используем определение числа ; получим:

.

Итак, и .

Б) . Найдем , т.е.

и .

2. Производная показательной функции.

А) - прологарифмируем обе части равенства по основанию : . Дифференцируем или , откуда , т.е.

и .

Б) . . Итак,

и

3. Производная степенной функции.

, для любого . Прологарифмируем обе части равенства . Дифференцируем: , откуда , т.е:

и

4. Производная степенно-показательной функции.

. . Дифференцируем: .

5. Производная тригонометрических функций.

и

и

и

и