Определение производной

Пусть на некотором промежутке Х определена функция y=f (x). Возьмем любую точку _. Зададим аргументу х произвольное приращение ∆ х ≠ 0 такое, что точка х +∆ х также будет принадлежать Х. Функция получит приращение ∆ у = f (x +∆ х)− f (x).

Определение. Производной функции y=f (x) в точке х называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю (при условии, что этот предел существует).

Для обозначения производной функции y=f (x) в точке х используются символы у ′(х) или f′ (x).

Итак, по определению, .

Если для некоторого значения х ₀ выполняется условие

или ,

т.е. пределы равны бесконечности, то говорят, что в точке х ₀ функция имеет бесконечную производную.

Если функция y=f (x)имеет конечную производную в каждой точке , то производную f′ (x) можно рассматривать как функцию х, также определенную на Х. Нахождение производной функции называется дифференцированием функции. Если функция в точке х имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая во всех точках промежутка Х, называется дифференцируемой на этом промежутке.