Свойства функций, непрерывных на отрезке

1. Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке. (рис. 1.1)

2. Если функция непрерывна на отрезке , то она достигает на этом отрезке наименьшего значения и наибольшего значения (теорема Вейерштрасса). (рис. 1.2)

3. Если функция непрерывна на отрезке и значения ее на концах отрезка и имеют противоположные знаки, то внутри отрезка найдется точка такая, что . (Теорема Больцано-Коши.)

Пример. Исследовать на непрерывность и найти точки разрыва функции . Установить характер разрыва.

Решение. При функция не определена, следовательно, функция в точке терпит разрыв: , а . Так как односторонние пределы бесконечны, то - точка разрыва второго рода.