Производная сложной функции

Пусть задана сложная функция .

Теорема. Если и - дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна производной данной функции по промежуточному аргументу и умноженной на производную промежуточного аргумента по независимой переменной , т.е.

.

□ Дадим независимой переменной х приращение Δ х ≠0. Тогда функция u= φ (x) и у=f (u) соответственно получат приращения Δ u и Δ y.

Предположим, что Δ u ≠0. Тогда в силу дифференцируемости функции у=f (u) можно записать где - f ′(u) величина не зависящая от Δ u.

На основании теоремы о связи бесконечно малых величин с пределами функций где - бесконечно малая величина при Δ u → 0, откуда

Это равенство будет справедливо и при Δ u = 0, если полагать, что α(∆ u =0)=0 (т.е. доопределить таким образом функцию α(∆ u) при ∆ u =0).

Разделив обе части последнего равенства на Δ х ≠0, получим

Так как по условию функция у=φ (х) дифференцируема, то она непрерывна в точке х, следовательно, при Δ х → 0 Δ u → 0 и α(∆ u) → 0.

Поэтому, переходя к пределу при Δ х → 0 в последнем соотношении, получаем ■