Теорема об И с переменным верхним пределом

Одним из важных понятий для непрерывных и интегрируемых на сегменте [a,b] функций является понятие интеграла с переменным верхним пределом.Пусть функция f(x) интегрируема на любом сегменте [α,β]Є(а;в)и пусть c - некоторая фиксированная точка, принадлежащая интервалу (a,b), тогда, каково бы ни было число хЄ(a,b), функция f(x) интегрируема на [c,x], и на интервале (a,b) определена функция F(x)= , которая называется интегралом с переменным верхним пределом.

Теорема. Любая непрерывная на интервале (a,b) функция f(x) имеет на этом интервале первообразную. Одной из первообразных является функция F(x)= ,где с - любая фиксированная точка интервала (a,b).Достаточно доказать, что для (х берем таким, чтобы (х +∆x)Є(a,b)). Рассмотрим разность F(x+∆x)-F(x)= = + - = =f(z)∆x,где z-некоторое число, заключенное между х и х +∆x.Так как f(x) непрерывна в точке х, то при∆x⟶0 f(z)⟶f(x),то

Следовательно, существует F`(x)= и F`(x)=f(x).Теорема доказана.

13. инт-лы от функций, содержащих квадратный трёхчлен…

I r wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> II

Интегралы первого типа берутся с помощью замены переменной, предварительно выделив в многочлене Р2(х) полный квадрат

Для нахождения интеграла второго типа необходимо выполнить следующий алгоритм:1.Находим производную кВ-го трехчлена, стоящего в знаменателе, т.е.

2.Формируем эту произв-ю в числителе подынтегральной функции

3.Разбиваем этот интеграл на два, вида: второй интеграл типа I, а первый берётся путем поднесения под знак дифф-ла:

Пр.: (,

A=

B= = =

A+B=…