Применение дифференциала к приближенным вычислениям

Пусть нам известно значение функции y ₀ =f(x ₀ ) и ее производной y ₀' = f '(x₀) в точке x₀. Покажем, как найти значение функции в некоторой близкой точке x.

Как мы уже выяснили приращение функции Δ y можно представить в виде суммы Δ y = dy +α·Δ x, т.е. приращение функции отличается от дифференциала на величину бесконечно малую. Поэтому, пренебрегая при малых Δ x вторым слагаемым в приближенных вычислениях, иногда пользуются приближенным равенством Δ y ≈ dy или Δ y» f '(x₀)·Δ x.

Т.к., по определению, Δ y = f (x) – f (x₀), то f(x) – f(x₀) ≈ f '(x₀)·Δ x.

Откуда

f(x) ≈ f(x₀) + f '(x₀)·Δ x

Примеры.

1. y = x² – 2 x. Найти приближенно, с помощью дифференциала, изменение y (т.е. Δ y), когда x изменяется от 3 до 3,01.

Имеем Δ y ≈ dy = f '(x)·Δ x.

f '(x)=2 x – 2, f '(3)=4, Δ x =0,01.

Поэтому Δ y ≈ 4·0,01 = 0,04.

2. Вычислить приближенно значение функции в точке x = 17.

Пусть x₀ = 16. Тогда Δ x = x – x₀ = 17 – 16 = 1, ,

.

Таким образом, .

3. Вычислить ln 0,99.

Будем рассматривать это значение как частное значение функции y =ln x при х =0,99.

Положим x₀ = 1. Тогда Δ x = – 0,01, f (x₀)=0.

, f '(1)=1.Поэтому f (0,99) ≈ 0 – 0,01 = – 0,01.