![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Теорема Ролля. Если функция y= f(x) непрерывна на отрезке [ a; b ], дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка (т.е. на (а; b)) и на концах отрезка обращается в нуль f(a) = f(b) = 0, то на (a; b) найдется хотя бы одна точка c Î (a; b), в которой f '(c) = 0.
Доказательство. Так как функция f(x) непрерывна на [ a; b ], то по одной из теорем о непрерывных функциях она достигает на этом отрезке наибольшего значения и наименьшего. Пусть
Заметим, что если М = m, то f(x) = const = 0 (по условию теоремы f(a)=f(b) =0) и, следовательно, f '(x)=0при всех x Î [ a; b ].
Предположим, что M≠m, тогда, по крайней мере, одно из этих чисел отлично от нуля. Для определенности будем считать, что М ≠0 и М > 0.
Пусть в точке x = c f(c)=М, при этом c≠a и с ≠ b, т.к. f(a)=f(b) =0. Придадим значению c приращение Δ x и рассмотрим новую точку c +Δ x. Поскольку f(c) – наибольшее значение функции, то f (c +Δ x) – f(c) ≤0 для любого Δ x. Отсюда следует, что
Переходя в этих неравенствах к пределу при Δ x →0 и учитывая, что производная при x = c существует, будем иметь:
Но неравенства f '(c) ≤ 0 и f '(c) ≥ 0 одновременно возможны лишь в случае, когда
f '(c)=0. Теорема доказана.
Эта теорема имеет простой геометрический смысл. Если непрерывная кривая, имеющая в каждой точке касательную, пересекает ось Ox в точках x=a и x=b, то на этой кривой найдется хотя бы одна точка с абсциссой c, a < c < b, в которой касательная параллельна оси Ox.
Заметим, что доказанная теорема останется справедливой, если предположить, что на концах отрезка функция принимает равные значения f(a)=f(b), не обязательно равные нулю.
Кроме того, отметим, что если внутри [ a; b ] найдется хотя бы одна точка, в которой производная функции f(x) не существует, то утверждение теоремы может оказаться неверным.
Пример. Функция ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() |
Теорему Лагранжа геометрически можно пояснить так. Рассмотрим график функции y=f(x), удовлетворяющий условиям теоремы и соединим концы графика на [ a; b ] хордой AB. Как мы уже отметили, отношение для хорды AB, а f '(c) есть угловой коэффициент касательной. Следовательно, теорема утверждает, что на графике функции y=f(x) найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику параллельна хорде, соединяющей концы дуги.
Теорема Коши. Если f(x) и g(x) – две функции, непрерывные на [ a; b ] и дифференцируемые внутри него, причем g '(x) ≠ 0 при всех x Î (a; b), то внутри отрезка [ a; b ] найдется хотя бы одна точка c Î (a; b), что .
Доказательство. Определим число . Заметим, что g(b) – g(a) ≠ 0, т.к. в противном случае выполнялось бы равенство g(b)=g(a) и по теореме Ролля в некоторой точке d Î (a; b) g '(d) = 0. Это противоречит условию теоремы.
Составим вспомогательную функцию.
F(x) = f(x) – f(a) – k[g(x) – g(a)].
Несложно заметить, что F(a)=F(b)= 0. Функция F(x) удовлетворяет на [ a; b ] всем условиям теоремы Ролля. Следовательно, найдется число с Î(a; b) такое, что F '(c) = 0. Но
F'(x) = f'(x) – k·g(x), а значит F '(c) = f '(c) – k · g '(c) = 0,
откуда .
Заметим, что теорему Коши нельзя
доказать, применяя теорему Лагранжа к числителю и знаменателю дроби k. Объясните почему.
Ранее мы познакомились с примерами нахождения пределов отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций, то есть раскрытия неопределенностей вида 0/0 и ∞/∞. Сейчас рассмотрим новое правило раскрытия этих неопределенностей.
Теорема (правило Лопиталя). Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки a, и пусть или
. Тогда, если существует предел отношения производных этих функций
, то существует и предел отношения самих функций f(x)/g(x) при x → а, причем
![]() | (1) |
Таким образом, коротко правило Лопиталя можно сформулировать следующим образом: предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных.
Замечание. Отметим, что формула (1) справедлива только в том случае, если предел, стоящий справа, существует. Может случиться, что предел, стоящий слева существует, в то время как предел, стоящий в правой части равенства, не существует.
Например, найти . Этот предел существует
. Но отношение производных ( 1 + cos x)/ 1 = 1 + cos x при x →∞ не стремится ни к какому пределу.
Заметим, что если отношение производных опять представляет собой неопределенность вида 0/0 или ∞/∞, то можно снова применить сформулированную теорему, то есть перейти к отношению вторых производных и так далее.
Вспомним, что к этим двум случаям сводятся случаи других неопределенностей: ∞·∞; 0·∞.
Для раскрытия неопределенностей 1∞, 10, ∞0 нужно прологарифмировать данную функцию и найти предел ее логарифма.
Примеры.
1. .
2. .
3. .
4.
5.
Обозначим .
Прологарифмируем это равенство . Найдем
.
Так как ln y функция непрерывная, то . Следовательно,
или
.
ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
Пусть функция y= f(x) задана на (a, b) и x 0 (a, b). Поставим следующую задачу: найти многочлен P(x), значения которого в окрестности точки x 0 приближенно совпадали бы со значениями функции f(x) в соответствующих точках. Тогда можно будет считать, что f(x)≈P(x) и задачу вычисления значений f(x) в окрестности точки x 0 можно заменить более легкой задачей вычисления значений P(x).
Пусть искомый многочлен имеет степень n P(x) = P n (x). Будем искать его в виде
![]() | (1) |
В этом равенстве нам нужно найти коэффициенты .
Для того чтобы этот многочлен был "близок" к функции f(x) потребуем выполнения следующих равенств:
Пусть функция y= f(x) имеет производные до n-ого порядка. Найдем коэффициенты многочлена P n(x) исходя из условия равенства производных.
Введем обозначение n! = 1·2·3… n, 0! = 1, 1! = 1.
Подставим в (1) x = x 0 и найдем , но с другой стороны
. Поэтому
Далее найдем производную и вычислим
Следовательно,
.
Учитывая третье условие и то, что
,
получим , т.е.
.
Далее . Значит,
, т.е.
.
Очевидно, что и для всех последующих коэффициентов будет верна формула
Подставляя найденные значения коэффициентов в формулу (1), получим искомый многочлен:
Обозначим и назовем эту разность n -ым остаточным членом функции f(x) в точке x 0. Отсюда
и, следовательно,
если остаточный член будет мал.
Оказывается, что если x0 (a, b) при всех x (a, b) существует производная f (n+1)(x), то для произвольной точки x (a, b) существует точка, лежащая между x 0 и x такая, что остаток можно представить в виде:
Это так называемая формула Лагранжа для остаточного члена.
Формула
где x (x 0, x) называется формулой Тейлора.
Если в этой формуле положить x 0 = 0, то она запишется в виде
где x (x 0, x). Этот частный случай формулы Тейлора называют формулой МакЛорена.
.
Дата публикования: 2015-11-01; Прочитано: 601 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!