![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пусть значения двух переменных x и y связаны между собой некоторым уравнением, которое символически запишем так:
F(x, y) = 0. | (1) |
Если на некотором множестве D каждому значению переменной x соответствует единственное значение y, которое вместе с x удовлетворяет уравнению (1), то будем говорить, что это уравнение задает неявную функцию y=f(x).
Из определения следует, что для любой неявной функции y=f(x), заданной уравнением (1), имеет место тождество F(x, f(x)) ≡ 0, справедливое при всех x Î D.
Например, уравнение x 2 + y 2 – a 2 = 0 неявно определяет две элементарные функции . Действительно, после подстановки в исходное уравнение этих значений получим равенство x 2+(a 2– x 2) – a 2 = 0.
Однако, не всякую неявно заданную функцию можно представить явно, т.е. в виде y=f(x).
Например, функции, заданные уравнениями y 2– y – x 2=0 или , не выражаются через элементарные функции, т.е. эти уравнения нельзя разрешить относительно y.
Заметим, что каждая явная функция y=f(x) может быть представлена и как неявная y – f(x) = 0.
Таким образом, неявная функция – это определенный способ задания зависимости между переменными x и y.
Рассмотрим правило нахождения производной неявной функции, не преобразовывая ее в явную, т.е. не представляя в виде y=f(x).
Чтобы найти производную у ' неявной функции F(x, y) =0, нужно обе части этого уравнения продифференцировать по x, рассматривая у как функцию от x, и из этого полученного уравнения найти искомую производную y '. Чтобы найти y '', нужно уравнение F(x, y) =0 дважды продифференцировать по x и выразить y '' и т.д.
Примеры. Найти производные функций заданных неявно.
1.
2.
Итак, производная неявной функции выражается, как правило, не только через аргумент, но и через функцию.
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ,
Дата публикования: 2015-11-01; Прочитано: 2530 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!