Производная неявной функции

Пусть значения двух переменных x и y связаны между собой некоторым уравнением, которое символически запишем так:

F(x, y) = 0.

(1)

Если на некотором множестве D каждому значению переменной x соответствует единственное значение y, которое вместе с x удовлетворяет уравнению (1), то будем говорить, что это уравнение задает неявную функцию y=f(x).

Из определения следует, что для любой неявной функции y=f(x), заданной уравнением (1), имеет место тождество F(x, f(x)) ≡ 0, справедливое при всех x Î D.

Например, уравнение x ² + y ² – a ² = 0 неявно определяет две элементарные функции . Действительно, после подстановки в исходное уравнение этих значений получим равенство x ²+(a ²– x ²) – a ² = 0.

Однако, не всякую неявно заданную функцию можно представить явно, т.е. в виде y=f(x).

Например, функции, заданные уравнениями y ²– y – x ²=0 или , не выражаются через элементарные функции, т.е. эти уравнения нельзя разрешить относительно y.

Заметим, что каждая явная функция y=f(x) может быть представлена и как неявная y – f(x) = 0.

Таким образом, неявная функция – это определенный способ задания зависимости между переменными x и y.

Рассмотрим правило нахождения производной неявной функции, не преобразовывая ее в явную, т.е. не представляя в виде y=f(x).

Чтобы найти производную у ' неявной функции F(x, y) =0, нужно обе части этого уравнения продифференцировать по x, рассматривая у как функцию от x, и из этого полученного уравнения найти искомую производную y '. Чтобы найти y '', нужно уравнение F(x, y) =0 дважды продифференцировать по x и выразить y '' и т.д.

Примеры. Найти производные функций заданных неявно.

1.

2.

Итак, производная неявной функции выражается, как правило, не только через аргумент, но и через функцию.

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ,