Уравнения касательной и нормали к кривой

Рассмотрим кривую, уравнение которой есть y=f(x). Возьмем на этой кривой точку M (x₀, y₀), и составим уравнение касательной к данной кривой в точке M, предполагая, что эта касательная не параллельна оси Oy.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом в общем виде есть у=kx + b. Поскольку для касательной k = f '(x₀), то получаем уравнение y = f '(x₀)· x + b. Параметр b найдем из условия, что касательная проходит через точку M(x₀, y₀). Поэтому ее координаты должны удовлетворять уравнению касательной: y₀ = f ' (x₀) · x₀ + b. Отсюда b = y₀ – f '(x₀)· x₀.

Таким образом, получаем уравнение касательной y = f '(x₀)· x + y₀ – f '(x₀)· x₀ или

y = f '(x0)·(x – x0) + f(x0)

Если касательная, проходящая через точку М (x₀, y₀) параллельна оси ординат (т.е. производная в этой точке не существует), то ее уравнение x= x₀.

Наряду с касательной к кривой в данной точке часто приходится рассматривать нормаль.

Нормалью к кривой в данной точке называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно к касательной в данной точке.

Из определения нормали следует, что ее угловой коэффициент k_n связан с угловым коэффициентом касательной k равенством:

.

Учитывая, что нормаль также как и касательная проходит через точку M (x₀, y₀ ), то уравнение нормали к кривой y= f(x) в данной точке M имеет вид:

Ясно, что если касательная параллельна оси Ox, т.е. f '(x₀) = 0 и ее уравнение имеет вид y= y₀, то нормаль в этой же точке будет перпендикулярна оси Ox. Значит, ее уравнение имеет вид x= x₀.

Примеры.

1. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции у = tg² x в точке с абсциссой x₀ =π/4.

Уравнение касательной имеет вид y =4·(x – π/4) + 1 или y = 4 x – π + 1.

Уравнение нормали будет y = –1/4·(x – π/4) + 1 или у = –1/4· x + π/16 + 1.

2. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции у = 0.5·(x – 2)² + 5 в точке M (2; 5).

y '= x – 2, y '(2) = 0. Следовательно, касательная параллельна оси Ox, а значит ее уравнение y = 5. Тогда нормаль параллельна оси Oy и имеет уравнение x = 2.

3. Найти уравнение касательной и нормали к эллипсу в точке M (2; 3).

Найдем y ' по правилу дифференцирования неявной функции .

Уравнение касательной: ,т.е. .

Уравнение нормали: , т.е. .

4. Составить уравнения касательной и нормали к циклоиде x = t – sin t, y = 1 – cos t в точке М (x ₀; y ₀), которая соответствует значению параметра t = π/2.

При t =π/2 x ₀= π/2 – 1, y ₀=1.

.

Уравнение касательной: y = x – π/2 + 1 + 1, т.е. у = x – π/2 + 2.

Уравнение нормали: y = – x – π/2 – 1 + 1, т.е. у = – x – π/2.