П. 5. Теория групп

1. Слово. Не только числа можно складывать, умножать и т.д.

Алфавит A — любая совокупность символов. Пусть это все русские буквы: а, б, …, я. Слово над алфавитом A — любая конечная последовательность символов из A. Примеры слов: <а>,<аа>,<мама>,<абырвалг>,< >.

Слово может быть и пустым, т.е. вовсе не содержать символов — последнее слово в примерах. Пустое слово обозначают буквой l º < >. Другие, не пустые слова будем обозначать малыми латинскими буквами.

Произведением, или композицией, слов a и b называется слово c = a Ä b, полученное приписыванием к слову a справа от него слова b.

Пример композиции: a = <ли>, b = <па>, c = a Ä b = <липа>.

Пустое слово l не содержит символов, поэтому для любого слова a имеем: a Ä l = l Ä a = a. Таким образом, пустое слово l при перемножении слов ведет себя как единица при перемножении чисел.

Двойные умножения записываются без скобок: a Ä b Ä c, т.к. умножение слов ассоциативно, или сочетательно: (a Ä b) Ä c = a Ä (b Ä c).

Упр. 7. Проверьте на 2 примерах, что композиция слов ассоциативна.

2. Самосовмещение. Равенство, или конгруэнтность, фигур в геометрии устанавливается перемещением: если существует перемещение, при котором одна фигура отображается на другую, то эти фигуры равны. Перемещение, при котором некоторая фигура отображается на себя, назовем самосовмещением.

	B
C		A
	E

Рассмотрим повороты квадрата вокруг его центра. Тогда самосовмещение квадрата определяется тем, на какую сторону ляжет выделенная сторона E. Получаем всего 4 различных самосовмещения: e — тождественное (поворот на 0°), a — поворот на 90° (сторона E попадает на A), b — поворот на 180° и c — поворот на 270°.

Произведение x · y любых двух самосовмещений определяется как композиция поворотов: сначала выполняется поворот x, а затем — поворот y. Имеет место ассоциативность (x · y) · z = x · (y · z) для любых 3 самосовмещений.

Упр. 8. Приведите 2 примера ассоциативности произведения самосовмещений.

·	e	a	b	c
e	e	a	b	c
a	a	b
b	b
c	c

Для любого самосовмещения x поворот e выполняет роль единицы, поскольку x · e = e · x = x. Имеем 1-ю строку и 1-й столбец таблицы умножения поворотов квадрата. Например, прозведение a · a = b, т.к. поворот на 90°+90° дает 180°.

Упр. 9. Заполните до конца эту таблицу умножения.

Всякому повороту x соответствует единственный обратный поворот x ^–1 такой, что x · x ^–1 = x ^–1 · x = e. Например, поскольку a · c = e, то a ^–1 = c.

Упр. 10. Чеиу равно b ^–1, c ^–1, e ^–1?

3. Группа. Обобщим два предыдущих пункта. Группой называется совокупность объектов G, для любых двух элементов которой a и b определена операция (a, b) ® a * b (обычно «умножение» иди «сложение»). Причем эта операция должна удовлетворять следующим трем аксиомам группы.

I. Ассоциативность. Для любых трех элементов a, b и c из группы G имеет место тождество (a * b) * c º a * (b * c).

II. Существование единицы группы. Существует такой элемент e группы G, что для любого другого элемента a имеем: e * a = a * e = e.

III. Существование обратного элемента. Для любого элемента a из группы G найдется такой обратный элемент b, что a * b = b * a = e.

Если выполняется только аксиома I, то имеем полугруппу.

Группа (полугруппа) называется коммутативной, или абелевой, если операция группы (полугруппы) коммутативна. Это означает, что для любых a и b произведение a * b перестановочно: a * b = b * a.

Примеры.

1. Совокупность слов (п. 1) — полугруппа с единицей неабелева, т.к. если a = <ли>, b = <па>, то a Ä b = <липа>, но b Ä a = <пали>, т.е. a Ä b ¹ b Ä a.

2. Повороты квадрата образуют абелеву группу.

3. Натуральные числа N с операцией сложения образуют абелеву полугруппу без единицы, а с операцией умножения — абелеву полугруппу с единицей.

4. Целые числа Z с операцией сложения образуют абелеву группу.

5. Действительные числа R с операцией сложения образуют одну абелеву группу, а без нуля с операцией умножения — другую абелеву группу.

Теория множеств

Кто-то выдвинул робко отчаянный план:

Рассадить их по двум кораблям.