![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
1. Слово. Не только числа можно складывать, умножать и т.д.
Алфавит A — любая совокупность символов. Пусть это все русские буквы: а, б, …, я. Слово над алфавитом A — любая конечная последовательность символов из A. Примеры слов: <а>,<аа>,<мама>,<абырвалг>,< >.
Слово может быть и пустым, т.е. вовсе не содержать символов — последнее слово в примерах. Пустое слово обозначают буквой l º < >. Другие, не пустые слова будем обозначать малыми латинскими буквами.
Произведением, или композицией, слов a и b называется слово c = a Ä b, полученное приписыванием к слову a справа от него слова b.
Пример композиции: a = <ли>, b = <па>, c = a Ä b = <липа>.
Пустое слово l не содержит символов, поэтому для любого слова a имеем: a Ä l = l Ä a = a. Таким образом, пустое слово l при перемножении слов ведет себя как единица при перемножении чисел.
Двойные умножения записываются без скобок: a Ä b Ä c, т.к. умножение слов ассоциативно, или сочетательно: (a Ä b) Ä c = a Ä (b Ä c).
Упр. 7. Проверьте на 2 примерах, что композиция слов ассоциативна.
2. Самосовмещение. Равенство, или конгруэнтность, фигур в геометрии устанавливается перемещением: если существует перемещение, при котором одна фигура отображается на другую, то эти фигуры равны. Перемещение, при котором некоторая фигура отображается на себя, назовем самосовмещением.
B | ||
C | A | |
E |
Рассмотрим повороты квадрата вокруг его центра. Тогда самосовмещение квадрата определяется тем, на какую сторону ляжет выделенная сторона E. Получаем всего 4 различных самосовмещения: e — тождественное (поворот на 0°), a — поворот на 90° (сторона E попадает на A), b — поворот на 180° и c — поворот на 270°.
Произведение x · y любых двух самосовмещений определяется как композиция поворотов: сначала выполняется поворот x, а затем — поворот y. Имеет место ассоциативность (x · y) · z = x · (y · z) для любых 3 самосовмещений.
Упр. 8. Приведите 2 примера ассоциативности произведения самосовмещений.
· | e | a | b | c |
e | e | a | b | c |
a | a | b | ||
b | b | |||
c | c |
Для любого самосовмещения x поворот e выполняет роль единицы, поскольку x · e = e · x = x. Имеем 1-ю строку и 1-й столбец таблицы умножения поворотов квадрата. Например, прозведение a · a = b, т.к. поворот на 90°+90° дает 180°.
Упр. 9. Заполните до конца эту таблицу умножения.
Всякому повороту x соответствует единственный обратный поворот x –1 такой, что x · x –1 = x –1 · x = e. Например, поскольку a · c = e, то a –1 = c.
Упр. 10. Чеиу равно b –1, c –1, e –1?
3. Группа. Обобщим два предыдущих пункта. Группой называется совокупность объектов G, для любых двух элементов которой a и b определена операция (a, b) ® a * b (обычно «умножение» иди «сложение»). Причем эта операция должна удовлетворять следующим трем аксиомам группы.
I. Ассоциативность. Для любых трех элементов a, b и c из группы G имеет место тождество (a * b) * c º a * (b * c).
II. Существование единицы группы. Существует такой элемент e группы G, что для любого другого элемента a имеем: e * a = a * e = e.
III. Существование обратного элемента. Для любого элемента a из группы G найдется такой обратный элемент b, что a * b = b * a = e.
Если выполняется только аксиома I, то имеем полугруппу.
Группа (полугруппа) называется коммутативной, или абелевой, если операция группы (полугруппы) коммутативна. Это означает, что для любых a и b произведение a * b перестановочно: a * b = b * a.
Примеры.
1. Совокупность слов (п. 1) — полугруппа с единицей неабелева, т.к. если a = <ли>, b = <па>, то a Ä b = <липа>, но b Ä a = <пали>, т.е. a Ä b ¹ b Ä a.
2. Повороты квадрата образуют абелеву группу.
3. Натуральные числа N с операцией сложения образуют абелеву полугруппу без единицы, а с операцией умножения — абелеву полугруппу с единицей.
4. Целые числа Z с операцией сложения образуют абелеву группу.
5. Действительные числа R с операцией сложения образуют одну абелеву группу, а без нуля с операцией умножения — другую абелеву группу.
Теория множеств
Кто-то выдвинул робко отчаянный план:
Рассадить их по двум кораблям.
Дата публикования: 2015-11-01; Прочитано: 293 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!