Период современной математики

1. Неевклидова геометрия. Неевклидова геометрия в XVIII в. называлась также астральной геометрией: только за евклидовой геометрией признавали возможность описывать физическое пространство. Догма евклидовой структуры пространства подкреплялась положениями немецкого философа Иммануила Канта (1724—1804), считавшего, что евклидово пространство априорно предшествует всякому опыту.

Карл Фридрих Гаусс (1777—1855), «король математиков», первый признал за неевклидовой геометрией право представлять физическое пространство. Уже в 1813 г. Гаусс разработал эту «странную геометрию», но так ничего и не опубликовал.

Творцами неевклидовой геометрии признаны также Николай Иванович Лобачевский (1792—1856), профессор Казанского университета, и Янош Бойяи (1802—1860), венгерский офицер. Независимо друг от друга каждый из них около 1825 г. не только разработал теорию, аналогичную теории Гаусса, но также способствовал ее распространению.

Первая приоритетная публикация Лобачевского, книга «О началах геометрии», вышла из печати в 1829 г., тогда как Бойяи опубликовал свои результаты только в 1832 г. Более того, в 1926 г. Лобачевский выступил с докладом о своем открытии в Казанском университете, через несколько дней после отставки попечителя университета, который с 1819 по 1826 год преследовал там всякую свободную мысль.

Но идеи Лобачевского не были поняты ни в университете, ни в других ученых кругах, он отстаивал свою геометрию все оставшуюся жизнь. Однако бесплодность всех попыток добиться понимания и признания своих научных идей преждевременно состарили гениального человека. Ослепший, он за год до смерти продиктовал последнюю книгу «Пангеометрия».

Эти идеи обобщил профессор Гёттингенского университета Бернгард Риман (1826—1866) в 1867 г., охватив единой теорией геометрии Евклида, Лобачевского и Римана. При этом для перехода от геометрии Евклида к геометрии Лобачевского требуется замена только одной аксиомы — пятого постулата Евклида, но для перехода к геометрии Римана — вместе с пятым постулатом необходимо заменить еще некоторые аксиомы.

Евклидова и неевклидовы геометрии

Геометрия	Число параллельных к прямой, проходящих через точку вне прямой	Сумма a углов треугольника	Знак кривизны R пространства	Зависимость площади треугольника S от R и a
Евклида		p	R = 0	Нет
Лобачевского	Бесконечное множество	Меньше p	R < 0	S = R2(p – a)
Римана		Больше p	R > 0	S = R2(a – p)

2. Гаусс. Карл Фридрих Гаусс (1777—1855) родился в семье поденщика. Брауншвейгский герцог соизволил обратить внимание на молодого Гаусса — вундеркинда и позаботился о его обучении. В 1795—1798гг. юный гений учился в Гёттингене. С 1807г. до самой смерти он без тревог и забот спокойно работал директором обсерватории и профессором его родного университета. Как и его современники Кант, Гёте, Бетховен и Гегель, он стоял в стороне от больших политических битв, разыгрывавшихся в других странах, но в своей области он энергично выразил новые идеи своего века.

Еще в школе маленький Гаусс поражал своими способностями. Например, когда все ученики класса весь урок вычисляли на своих маленьких грифельных досках сумму натуральных чисел от 1 до 100, Гаусс решил сразу эту задачу устно (правильно сгруппировав числа) и просидел весь урок, глядя на учителя (ответы показывались только в конце урока).

Теперь мы уже знаем, что Гаусс уже в 1800г. открыл эллиптические функции и около 1816г. овладел неевклидовой геометрией. Но по этим вопросам он никогда ничего не публиковал, не желая публично затрагивать какие-либо спорные вопросы и вносить беспокойство в свою жизнь.

3. Галуа. Эварист Галуа (1811—1832), сын мэра маленького городка вблизи Парижа, дважды не был принят в Политехническую школу и лишь затем поступил в Нормальную школу, но был оттуда уволен. Он старался просуществовать, обучая математике, как республиканец участвовал в революции 1830г., несколько месяцев провел в тюрьме и был убит на дуэли из-за женщины в 21 год. Накануне дуэли он написал одному из своих друзей резюме своих открытий в теории уравнений.

Это письмо содержало теорию групп, ключ к современным алгебре и геометрии. В теории Галуа нашли свое естественное место старые проблемы, такие, как трисекция угла, удвоение куба, решение алгебраических уравнений любой степени. Математическая общественность не знала об этом письме до того, как Лиувилль напечатал большую часть работ Галуа в своем журнале в 1846г., когда Коши уже начал печатать свои работы по теории групп. Объединяющий подход Галуа признан одним из самых выдающихся достижений математики XIX столетия. Возможно, проживи Галуа дольше, современная математика вдохновлялась бы больше всего Парижем и школой Лагранжа, а не Гёттингеном и школой Гаусса.

4. Многообразие. Есть разные способы построения карты поверхности земного шара. Все они сводятся к проекции выпуклой сферической поверхности глобуса на плоскость. Однако доказано, что построить взаимно-однознач­ное непрерывное проектирование всей сферы на плоскость невозможно.

Только после открытия шарообразности Земли, путешествий Христофора Колумба, Васко да Гама, Магеллана была осознана необходимость карт, учитывающих сферичность поверхности земного шара. Разработке теории проектирования и ее приложениям (к картографированию и к живописи, графике) большое внимание уделял, в частности, А.Дюрер.

Сегодня при изготовлении глобусов на сферу наклеиваются вплотную друг к другу по долготе узкие диски с изображением земной поверхности (см. рис.). Эта идея конструирования сложного объекта из нескольких более простых объектов путем их склейки и лежит в основе построения одного класса геометрических объектов — многообразий.

В наиболее четком виде понятие многообразия оформилось в работах Гаусса во время его исследований в области геодезии и картографирования земной поверхности. Сам термин «многообразие» был введен в математику Риманом в лекции «О гипотезах, лежащих в основании геометрии».