Период элементарной математики

1. Греческая математика. Самая важная роль в развитии западной математики принадлежит античной греческой цивилизации. Находясь в постоянном контакте с народами Востока, Вавилоном и Египтом, греки не довольствовались усвоением их знаний и создали абстрактную и дедуктивную математику. Греки — прежде всего геометры.

Математические исследования и философские рассуждения были в Древней Греции тесно связаны между собой. Платон, согласно легенде, при входе в свою школу написал: «Пусть никто не знающий геометрии не входит сюда». Евклид, согласно преданию, заявил царю, попросившего быстро научить его наукам: «к геометрии нет царской дороги».

2. Ионическая система счисления. Постепенно аттическая система счисления была заменена ионической; ее использование распространилось в Александрию (с III в. до н.э.). Это алфавитная десятичная аддитивная (непозиционная) система счисления образована из 24 букв греческого алфавита (финикийского происхождения) и двух архаичных букв.

Ионическая система счисления и греческий алфавит

№ в алфавите

Буква алфавита

Русское название

Обозн. число

Латинское обозн.

№ в алфавите

Буква алфавита

Русское название

Обозн. число

Латинское обозн.

№ в алфавите

Буква алфавита

Русское название

Обозн. число

Латинское обозн.

" $ ( * g H .

а´ льфа бе´та га´мма де´ льта э´псилон сти´ гма дзе´та э´ та тхе´та

a b g d e s z e th

–

i : < > @ B û

йо´та ка´ ппа ля´мбда мю ню кси омикро´ н пи ко´ ппа

i c l m n x o p –

–

D F J L n P R T ü

ро си´ гма та´у ю´ псилон фи хи пси оме´га сампи´

r s t y ph ch ps o –

3. Абак. Поскольку письменный счет в греческих системах счисления был очень сложным, вычисления часто проводили на абаке — счетной доске, на которой параллельные линии обозначали единицы, десятки, сотни и т.д. На них помещали число жетонов, соответствующее единицам, десяткам и т.д. рассматриваемого числа.

Абак широко применялся римлянами, а позднее и на средневековом христианском Западе даже после введения десятичной позиционной системы счисления, которой мы пользуемся в наши дни. В СССР счеты, дети абака, применялись вплоть до перестройки.

4. Математические проблемы античности. Всего насчитывается три знаменитые математические проблемы античности.

Квадратура круга — нахождение квадрата, площадь которого равна площади заданного круга.

Удвоение куба — определение ребра куба, имеющего объем вдвое больше объема заданного куба.

Трисекция угла — разделение любого заданного угла на три части.

Значение этих проблем в том, что, не решаясь с помощью циркуля и линейки, они стали средством для проникновения в новые области математики.

5. Фалес. В 6 в. до н.э. в период расцвета греческих торговых полисов Малой Азии сложилась форма абстрактного мышления, ставшая основой всей западной науки. Впервые ионийский рационализм поставил не только восточный вопрос «как?», но и вопрос «почему?». Согласно преданию отцом греческой математики и Ионийской школы является купец Фалес из Милета, который в первой половине 6 в. посетил Вавилон и Египет.

Древнегреческая математика развивалась последовательно, несколькими школами, использовавшими достижения своих предшественников.

6. Пифагор. Пифагор родился на острове Самос вблизи Милета в первой половине 6 в. до н.э. После долгих путешествий в Египте и Вавилоне он обосновался на юге Италии в Кротоне и основал братство религиозного, философского и научного характера с политическим уклоном. Основу всего он видел в числе, о чем свидетельствует его девиз: «Всё есть число».

По-видимому, пифагорейцы умели доказывать теорему Пифагора: «Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов».

Пифагорейская школа заложила основы греческой арифметики, изучая только целые числа; ее арифметика геометрична. Она же открыла иррациональные числа и сокрушила пифагорейскую точку зрения о представимости мира целыми числами, вызвав первый кризис в истории математики.

7. Целые числа. Пифагорейцы открыли разные виды целых чисел.

Совершенное число — число, равное сумме своих делителей, исключая себя. Пять первых совершенных чисел: 6, 28, 496, 8 128, 33 550 336. Пифагорейцы считали число 6 символом души, число 28 отвечало числу многих ученых обществ, а в XII веке церковь учила: тому, кто найдет новое совершенное число, уготовано вечное блаженство.

Два числа называются д ружественными, если каждое из них равно сумме делителей другого, исключая это другое. Древним грекам была известна только одна пара дружественных чисел: 220 и 284.

Для мистика-пифагорейца Совокупность Чисел состояла из следующих фигур-начал. Монада — число 1, начало принципа тождества. Диада — число 2, первое четное, а также женское число, начало принципа непротиворечия. Триада — число 3, первое нечетное, а также мужское число. И т.д. И, наконец, декада — количество точек, содержащееся в тетрактис, или четверице (фигуре, изображающей 4-е треугольное число), тайном символе членов пифагорейского содружества.

8. Многоугольные числа. Как видно из вышеизложенного, арифметика пифагорейцев обладает выраженной наглядностью: свойства многоугольных чисел можно непосредственно видеть на простых геометрических фигурах, которые их изображают. Эти фигуры и многоугольные числа приведены ниже.

Многоугольные, или фигурные, числа

Треугольные числа (полужирные)

·

·

·

·

Тетрактис, или

·

·

·

·

·

·

четверица

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

3 = 1 + 2

6 = 1 + 2 + 3

10 = 1 + 2 + 3 + 4

Квадратные числа (подчеркнутые)

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

1

4 = 1 + 3

9 = 4 + 5 = 3 + 6

16 = 9 + 7 = 6 + 10

9. Пропорции. Пифагорейцы создали теорию пропорций.

Музыкальная пропорция: = , где x и y — два любых натуральных числа, a = — их среднее арифметическое, h = — их среднее гармоническое.

Золотое сечение: j/ a = (a – j)/j, где a — любое число. Если a = 1, то j = ( – 1)/2. Первые приближения золотого такого сечения j следующие: 1/1, 1/2, 2/3, 3/5, 5/8,…, где 1, 1, 2, 3, 5, 8,…— числа Фибоначчи (см. ниже).

10. Зенон. Основатель Элейской школы (V в. до н.э.) Парменид — первый, кто строго различал чувственное и умопостигаемое. Элеаты не приняли пифагорейскую доктрину «всё есть число». Если дискретные объекты можно представить целыми числами, то иначе обстоит дело в случае непрерывных величин — длин, площадей, объемов

Зенон Элейский ок. 450 г. до н.э. сформулировал несколько парадоксов, или апорий (тупиков). Это было первое столкновение двух концепций: континуалистской, трактовавшей число и материю как бесконечно делимые, и атомистской, провозглашающей существование первичных неделимых элементов. Приведем некоторые из апорий Зенона.

Ахилл и черепаха. Ахилл соревнуется в беге с черепахой и дает ей фору. Пока он добежит до точки старта черепахи, последняя проползет дальше. Пока Ахилл снова добежит до точки, где только что была черепаха, она опять проползет, и т.д. Если пространство бесконечно делимо, Ахилл никогда не догонит черепаху.

Дихотомия (деление на два). Прежде чем пройти целиком некоторый отрезок, тело должно вначале пройти его половину. Но для этого нужно вначале пройти половину этой половины, и т.д, так что движение никогда не сможет начаться.

Стрела. В некий момент своего полета стрела находится в некоторой точке пространства в неподвижном состоянии. Поскольку это верно в каждый момент ее полета, стрела вообще не может находиться в движении.

11. Платон (427—347), ученик Сократа, жил в период упадка Афин. Ок. 377г. до н.э. он основал философскую школу Академию, в течение века руководившей всей интеллектуальной жизнью Афин. Закрыта в 529г.н.э. христианским императором Юстинианом за языческие идеи. Не будучи ма­те­мати­ком, Платон уделял математике важное место в своей воспитательной системе. Он ставил вопрос о природе и структуре математики. Его ученики первыми осознали абстрактный характер математических объектов.

Правильные многогранники, или платоновы тела, или космические фигуры

Тетраэдр	Октаэдр	Куб (гексаэдр)	Икосаэдр	Додекаэдр

12. Аристотель. Аристотель (384—322 гг. до н.э.), самый известный ученик Платона, воспитатель Александра Македонского. В 344 г. до н.э. Аристотель вернулся в Афины и создал там школу, разместившуюся в гимнасии, примыкающем к Лицею — храму Аполлона Ликейского.

«Знать — это установить при помощи доказательства»,— писал Аристотель. Обладать знанием — означает не созерцать, как у Платона, а провести рассуждение, подчиняющееся некоторым правилам. Аристотель стал основоположником логики. Классифицировав знания, Аристотель заложил разделение науки на отдельные дисциплины.

13. Евклид. Александр Македонский создал огромную империю. Ее столица Александрия стала культурным центром народов от Египта до Индии. В 3 в. до н.э. появились профессиональные ученые. В Александрии непосредственный преемник Александра — Птолемей Сотер — построил большой научный центр Музей со знаменитой библиотекой, насчитывающей 700 000 томов.

Евклид, влиятельнейший математик всех времен, преподавал там геометрию. На просьбу Птолемея быстро обучить его математике он заявил, что к геометрии «нет царского пути».

Его наиболее знаменитое произведение — 13 книг «Начал». В истории Запада «Начала», после Библии, наибольшее число раз изданная и более всего изучаемая книга. Большая часть школьной геометрии заимствована буквально из первых 6 книг. Изложение Евклида построено в виде строго логических выводов теорем из системы определений, аксиом и постулатов.

Приведем все пять постулатов (Евклид, с. 14—15).

I. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию.

II. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.

III. Из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг.

IV. Все прямые углы равны между собой.

V. Прямая, падающая на две прямые, образует внутренние углы, меньшие в сумме двух прямых, то продолженные неограниченно эти прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

Попытки в течение ряда веков доказать этот странный длинно сформулированный пятый постулат, или постулат о параллельных привели к открытию неевклидовых геометрий, а V постулат был признан аксиомой.

В книге XIII исследованы все пять правильных многогранников и доказано, что их существует только пять.

14. Архимед. Величайшим математиком эпохи эллинизма и всего древнего мира был Архимед (287—212), живший в Сиракузах, где он был советником царя Гиерона. Имя Архимеда связано с его теоремой о потере веса телами, погруженными в жидкость. Но наиболее важный вклад в математику он внес теоремами о площадях плоских фигур и об объемах тел.

Обилие вычислений у Архимеда отличает его от большинства творческих математиков Греции. Это придает его трудам, при всех их типично греческих особенностях, восточный оттенок.

Конец Александрийской школы и эллинистической культуры символизирует смерть Гипатии (Ипатии), убитой в 415 г. приверженцами св. Кирилла. Гипатия писала комментарии к классикам математики, участвовала в переиздании «Начал» Евклида. Ее судьба сделала ее героиней романа Чарльза Кингсли.

Римляне не поддерживали научной деятельности, большинство христианских церквей ее осуждали, жгли языческие трактаты.

15. Арабская цивилизация. Необъясним феномен внезапного возникновения ислама. Меньше чем через сто лет после смерти Магомета (632) объединенные им древние кочевые племена Аравии под началом его последователей — халифов — завоевали обширные территории от Испании до Индии, где с VII по XIII вв. развивалась арабская цивилизация. Любой труд, чтобы получить вес в науке, должен был быть написан на арабском языке. Все завоеванные народы — греческие эрудиты, эмигрировавшие от преследований христиан, андалузцы, берберы, сирийцы, евреи, сабеи, турки и т.д. — были вовлечены в единый поток исследований. Прежние местные культуры имели больше возможностей, чем при греческом господстве.

Арабский язык очень богат: для каждого понятия имеется большое разнообразие синонимов. Поэтому при переводе предшествующих трудов возникли проблемы идентификации понятий, способствующие концептуальному углублению знаний. В решении этих проблем приняли участие филологи и лингвисты. В течение восьми веков арабы играли роль хранителей мудрости и просветителей. Для арабского ученого характерны разносторонние интересы и выдающиеся способности во всех областях: от математики и врачевания до географии и поэзии.

Арабская математика достигла своего апогея в работах Самаркандской школы. Но после смерти Улугбека в 1449 г. школа распалась.

В недрах арабской цивилизации зародилась по-настоящему оперативная наука. Средневековому христианскому Западу понадобились века, чтобы усвоить это наследие и достичь подобного уровня.

Наряду с алфавитным порядком в арабском языке существует абджадный, числовой порядок. В старину арабы пользовались абджадными буквами для обозначения дат, чисел в арифметике и т.д.

Ниже приведена система Абджад, представляющая собой кодирование арабских букв числами и наоборот, широко использующаяся и в настоящее время для передачи тайных посланий в литературных и поэтических произведениях, а также для обозначения разделов в книгах и при перечислениях.

Система Абджад и арабский алфавит

№ в алфавите	Буква алфавита	Русское название	Обознач. число	№ в алфавите	Буква алфавита	Русское название	Обознач. число	№ в алфавите	Буква алфавита	Русское название	Обознач. число
	[ ] i u ¶ ¼ { m Ž	алиф ба джим даль ха вау зайн ха та			¾ ¦ ª ® ² } – ž †	йа каф лам мим нун син айн фа сад			¢ y ‚ a e q w Š ’ š	каф ра шин та са ха заль дад за гайн

16. Ал-Хорезми. Багдад — первый крупный научный центр при правлении ал-Мансура (754—775) и Гарун ал-Рашида (786—809). Там к 9 в. сформировалась собственная арабская математическая культура. При арабском завоевании многое в Багдаде осталось нетронутым. Даже ислам был воспринят в видоизмененной форме (шиизм); христиане, евреи, огнепоклонники, как и прежде, вносили свой вклад в культурную жизнь багдадского халифата.

Первым знаменитым ученым багдадской школы был уроженец Хивы Мухаммед ибн Муса ал-Хорезми. В латинских переводах этот автор именовался как Algorizmi, Algorismus и Algorithmus, откуда в современном математическом языке появился термин «алгоритм».

Алгебра ал-Хорезми, арабский текст которой сохранился, была озаглавлена «Хисаб ал-джабр ва-л-мукабала». От латинского перевода слова «ал-джабр» — «алгебра» и произошел современный термин.

17. Омар Хайям (Ал-Хайями, 1048—1131), астроном и философ, родился в Нишапуре (Иран); восемнадцать лет прожил в Исфахане, где руководил обсерваторией под покровительством султана Малик-шаха. Хайям известен на Западе и Востоке как автор «Рубайят». Ему приписывают около тысячи рубаи:

(LIX)

Я рассчитал — твердит людей молва —

Весь ход времен. Но дней ведь только два

Изъял навек я из календаря:

Тот, что не знаем — завтра, не вернем — вчера.

Омар осуществил реформу персидского календаря в 1079 г., но позже его календарь был заменен мусульманским лунным календарем. В книге «Комментарии к трудностям во введениях книги Евклида» он пытался доказать пятый постулат Евклида от противного, рассматривая обе гипотезы, входящие в отрицание постулата: 1) в четырехугольнике с двумя прямыми углами при основании и равными боковыми сторонами («равнобедренном двупрямоугольнике») верхние углы острые; 2) верхние углы тупые,— являющиеся теоремами неевклидовой геометрии.

18. Десятичная система. Наиболее известным достижением индийской математики является современная десятичная позиционная система счисления, а также изобретение нуля как знака. Сочетание позиционной и десятичной системы произошло в Индии, при этом была вытеснена более древняя непозиционная система. Первое известное применение десятичной позиционной системы относится к 595 г.

Научный мир ислама смог познакомиться с так называемой индийской системой после перевода на арабский язык «Сиддханты» (ок. 773). Знаки, применявшиеся в Индии для записи цифр позиционной системы, были разнообразны, но сохранились только 2 главных типа: 1) обозначения, применявшиеся восточными арабами; 2) цифры «гобар», применявшиеся западными арабами в Испании. Знаки 1-го типа сейчас применяются только в арабском мире. Наши цифры, традиционно называемые арабскими, произошли из системы «гобар»: Папа Сильвестр II в 991 г. познакомил с ними Северную Европу, где они постепенно получили современное начертание.

В таблице ниже приведены современные цифры, использующиеся в большинстве стран, и цифры, применяемые в арабских странах.

Индийские цифры (в большинстве стран)
Арабские цифры (в арабских странах)	P	Q	R	S	T	U	V	W	X	Y

19. Век великих переводов. С XII в. европейцам, чтобы получить доступ к арабской науке, пришлось преодолевать языковый барьер, подобно тому как за несколько веков до этого арабы были вынуждены овладеть греческим языком. Век XII — век великих переводов.

Самый плодовитый переводчик Герардо Кремонский (1114—1187) перевел с «компаньонами» в Толедо более 80 работ: вариант «Начал» Евклида, труды Архимеда, Аристотеля, ал-Хорезми, «Канон» Авиценны и др.

20. Фибоначчи. Крупнейший математик христианского средневековья Леонардо Пизанский (ок. 1170 — после 1250), которого прозвали Фибоначчи («сын Боначчо»). После путешествия по Востоку в качестве купца написал математическую «Книгу абака» (Liber abaci, 1202), возникшую под влиянием «Начал» Евклида, трудов ал-Хорезми и др.

Этот математик открыл ряд Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…, получающийся очень просто: каждый член ряда (кроме первых двух) есть сумма двух предыдущих. Ряд Фибоначчи естественным образом получается при решении следующей задачи: сколько пар кроликов происходит от одной пары, если: 1) кролики не дохнут; 2) каждая пара каждый месяц порождает новую пару; 3) новая пара становится производителем не сразу, а только со второго месяца?