Индукция и дедукция как основные приемы обоснования математических предложений

Различают два основных вида умозаключений – индукцию и дедукцию.

Индукция – это умозаключение, при котором из одного или нескольких единичных или частных суждений получают новое общее суждение. Различают два основных вида индукции – неполную и полную.

Неполная индукция – умозаключение, основанное на рассмотрении одного или нескольких, но не всех, единичных суждений.

В процессе обучения неполная индукция широко применяется в младших классах (например, при изучении переместительного закона сложения из одного или нескольких примеров типа “5 + 2 = 2 + 5” делается общий вывод: “а + в = в + а”).Вывод, основанный на неполной индукции, может быть ошибочным, неполная индукция не является методом логического доказательства.

Полной индукцией называется умозаключение, основанное на рассмотрении всех единичных и частных суждений, относящихся к рассматриваемой ситуации.

Заключение, сделанное на основе полной индукции, является вполне достоверным, полная индукция является методом логического доказательства. Однако используется этот метод редко по следующим причинам: 1) громоздкость, 2) невозможность рассмотрения всех единичных и частных суждений в силу того, что их бесконечно много.

Тем не менее, можно привести примеры использования полной индукции: при изучении вопроса об измерении вписанного угла рассматриваются все возможные случаи: 1) одна из сторон угла – диаметр окружности; 2) диаметр лежит между сторонами вписанного угла; 3) диаметр находится вне угла.

Дедукция – умозаключение, при котором из одного общего суждения и одного частного суждения получают новое, менее общее суждение.

Пример. См. пример умозаключения на с. 19: первое суждение – общее, второе суждение – частное, новое суждение – вывод – новое, менее общее суждение. 

Таким образом, сущность дедукции состоит в том, что данный частный случай подводится под общее положение.

Дедукция является основным методом логического доказательства.

Дедуктивное доказательство теорем характеризуется логической последовательностью шагов, обязательностью обоснований и их ссылками на уже признанные достоверными математические факты.