Математические предложения. Теоремы

В логике выделяются следующие формы мышления: понятия, суждения, умозаключения.

В курсе общей методики уже рассматривались понятия, умозаключения будут проанализированы далее. Рассмотрим, что такое суждение.

Суждение – форма мышления, в которой утверждается или отрицается что-либо относительно предметов и явлений, их свойств и отношений; оно может быть истинным или ложным.

В математике суждение называют математическим предложением.

Математические предложения либо принимаются за истинные без доказательства и тогда являются аксиомами, либо их истинность устанавливается после соответствующего логического обоснования – доказательства. В этом случае математическое предложение называется теоремой.

Термин «Теорема» происходит от греческого слова «Τεορεμα» – представление, зрелище, так как в древности часто теоремы доказывались публично, на площадях. Доказательсчтва носили характер спора, диспута.

Структура теоремы. Теорема состоит из двух основных частей – условия и заключения; на языке логики p Þ q, где р – условие, q – заключение, Þ знак следования.

Для словесного выражения теоремы обычно используют две формы суждений.

1. Категорическую.

Пример. Формулировка теоремы Пифагора: “Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы” ;1

2. Условную.

Пример. Признак равенства треугольников: “Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны” .

Таким образом, в условной форме используется словесная модель “Если..., то...”, которая с методической точки зрения значительно удобнее категорической: в ней уже выделены условие (то, что следует за словом “если”) и заключение (то, что следует за словом “то”).

Форма суждений достаточно легко меняется без изменения их содержания. Учителю следует упражнять учащихся в переводе категорической формы в условную, так как это один из эффективных приемов выделения условия и заключения теоремы.

Виды теорем. Имея некоторую теорему 1) p Þ q и считая ее прямой, можно образовать следующие виды теорем:

2) q Þ р – обратная,

3) 2 – противоположная,

4) – обратная противоположной.

Пример. Теорема: “Вертикальные углы равны”. Переведем категорическую форму в условную: 1) Если углы вертикальны, то они равны;

2) Если углы равны, то они вертикальны,

3) Если углы не вертикальны, то они не равны;

4) Если углы не равны, то они не вертикальны .

Нетрудно убедиться, что теоремы 1 и 4, а также 2 и 3 равносильны (если истинна одна, то истинна и другая), чего не скажешь о других парах.

В курсе планиметрии изучаются только прямые и обратные теоремы. Учителю необходимо специально поработать над этими понятиями, так как учащиеся часто ссылаются на обратную теорему вместо прямой и наоборот (особенно часто так используют теоремы Виета и Пифагора и обратные им).

С понятиями прямой и обратной теорем тесно связаны необходимые и достаточные условия. Однако мы опустим этот материал, так как в курсе планиметрии необходимые и достаточные условия явно не используются.

Теоремы можно классифицировать также по характеру их использования в курсе геометрии. С этой точки зрения принято выделять:

1) теоремы существования, которые утверждают существование того или иного объекта;

2) теоремы единственности, которые утверждают, что существующий объект единственен;

3) теоремы-признаки, определяющие условия, при которых рассматриваемый объект относится к определенному классу объектов;

4) теоремы-свойства, которые описывают свойства данного объекта.

В школьном курсе планиметрии явно не изучаются теоремы существования и единственности. Поэтому приведем примеры только теорем-признаков и теорем-свойств.

Пример 1. Теорема-признак: “Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны” .

Пример 2. Теорема-свойство: “В равных треугольниках против равных сторон лежат и равные углы” .

Теоремы-признаки и теоремы-свойства играют очень большую роль в изучении планиметрии, так как имеют различные функции.

Не вдаваясь в тонкости этой классификации, учитель должен специально выделять теоремы-признаки, подчеркивая, что с их помощью можно определить, принадлежит ли фигура, обладающая теми или иными свойствами, к определенному классу фигур.