Приемы организации работы при закреплении теорем

При закреплении теорем, как и при их введении, учителю приходится учитывать два обстоятельства: необходимо сформировать у учащихся навыки применения теоремы, учащиеся должны понять и запомнить ее доказательство.

Первый прием. Сразу после объяснения новой темы одному или нескольким учащимся предлагается повторить ее, остальным – слушать. Обычно вызываются учащиеся по желанию, а, следовательно, в основном хорошо успевающие. Такой прием приводит к следующим результатам:

– вызванные учащиеся, как правило, почти дословно воспроизводят объяснение учителя, опуская лишь те детали, которые не успели запомнить. Имеет место однообразие, повторение, что неэффектно;

– большинство учащихся слушают пассивно;

– однообразная, пассивная работа снижает интерес учащихся к уроку и ослабляет их внимание;

4.В психологии установлено, что забывание наиболее интенсивно протекает сразу после изучения материала, а потом оно замедляется. По этой закономерности те учащиеся, которые слушают внимательно, повторяют материал тут же на уроке, забывают его медленнее.

Этот прием приносит гораздо большую пользу, когда изученное доказательство теоремы на этом же уроке повторяют по измененному чертежу, с другими буквенными обозначениями. Такое повторение не является столь однообразным, оно требует от учащихся более активной мыслительной деятельности.

Второй прием. Чтобы повторить узловые части только что рассмотренной теоремы, учитель задает классу несколько вопросов. Этот прием требует меньшей затраты учебного времени, спросить удается не одного, а нескольких учащихся, класс принимает более активное участие в повторении.

Третий прием. Перед объяснением новой теоремы учитель предлагает послушать доказательство и одновременно составить план. Затем это задание повторяется. Прием очень эффективен, но только в тех классах, где предварительно проведена кропотливая работа по оформлению умений составлять план.

Четвертый прием. Доказательство рассмотренной теоремы не повторяется на данном уроке. Класс сразу преступает к решению задач по новой теме. Она закрепляется на задачах. А за 3 – 5 минут до звонка учитель подводит итог урока. Он предлагает не просто воспроизвести, пересказать изученное на уроке, а задает вопросы, которые заставляют учащихся выделить из нового материала главное, сопоставить с прежними знаниями, сравнить, обобщить и т. д. И все это связывается с только что решенными задачами по новой теме.

При такой форме подведения итога урока новый материал хорошо запоминается, так как он повторяется сразу после момента наиболее интенсивного забывания, а мыслительная деятельность учащихся разнообразна и активна.

Рассмотрим некоторые приемы повторения изученных теорем при проверке домашнего задания (на последующих уроках).

Первый прием. К доске вызывается учащийся. Ему дается время для подготовки к ответу. Он выполняет чертеж, записывает кратко условие и заключение теоремы, необходимые преобразования, продумывает ответ. Класс в это время занят другой работой. Затем вызванный учащийся отвечает, остальные слушают.

Второй прием. К доске для подготовки к ответу вызываются одновременно несколько учащихся. Класс в это время выполняет другую работу. Затем вызванные учащиеся поочередно отвечают, остальные слушают. Второй прием в отличие от первого позволяет несколько экономить учебное время. Поэтому этот прием называют уплотненным опросом.

Третий прием. К началу урока дежурные по классу записывают на доске основные преобразования из доказательств теорем, чертежи ко всем теоремам и задачам, заданным на дом. Учитель дает задание: доказать теорему или обосновать записанное на доске преобразование, или изложить решение задачи. Выдерживается пауза. Все замолкают, готовятся к ответу. В ожидании вызова одни учащиеся напряженно смотрят только на доску, другие – в тетради или в учебники. Желательно чтобы учебники были открыты. Затем к доске вызываются учащийся. Его слушают гораздо внимательней, чем при уплотненном опросе, т. к. к ответу готовился весь класс. Каждый учащийся легче и быстрее улавливает неточности в ответе вызванного товарища и готов высказать необходимые дополнения, замечания, поправки. Если ученик отвечает плохо, учитель вызывает на помощь любого другого, поскольку время на подготовку к ответу давалось всему классу. Вызванный ученик должен соблюдать общую схему ответа: формирует теорему, указывает, что дано и что требуется доказать, а затем излагает доказательство. Затем таким же образом проверяются теоремы, задачи. Такой опрос проходит обычно более четко, чем уплотненный опрос, при большей активности учащихся и меньшей затрате учебного времени.

2.3. Пример работы над теоремой о средней линии трапеции .

Логико-математический анализ теоремы: «средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме».

Теорема сформулирована в категорической форме.

Сформулируем ее в условной форме, выделив явно разъяснительную часть: в любой трапеции, если есть ее средняя линия, то она параллельна основаниям и равна их полусумме.

Итак, структура теоремы такова:

Разъяснительная часть – в любой трапеции;

Условие – отрезок есть средняя линия трапеции;

Заключение – 1) отрезок параллелен основаниям; 2) отрезок равен полусумме оснований.

Теорема содержит два заключения, значит она сложная по структуре (но не обязательно сложным является ее доказательство).

Этапы обучения доказательству теоремы (в основе проблемное обучение, метод эксперимента).

1-й этап. Мотивация необходимости изучения данной теоремы: решение небольшой практической задачи, проблемная ситуация.

2-й этап. Актуализация опорных знаний (расчленить теорему на ряд элементарных шагов и выявить опорные знания, необходимые для понимания доказательства). Формы организации: кратковременная самостоятельная работа, решение обобщающей задачи.

Проанализировав доказательство теоремы, следует выделить опорные знания и повторить их на этапе актуализации. В данном случае уместно повторить свойство средней линии треугольника и решить следующую задачу.

Дано: DABO и DDCO, АВ||CD, BO=CO.

Доказать: DABO=DDCO.

3-й этап. Введение теоремы

Возможно дедуктивное введение теоремы и синтетический способ ее доказательства.

Однако активизации познавательной деятельности учащихся будет способствовать метод эксперимента. Свойства средней линии трапеции можно «открыть» параллельно с процессом построения средней линии в произвольных трапециях. Учащимся предлагается:

Сравнить визуально взаимное расположение средней линии и оснований трапеции;

Построить отрезок, длина которого равна сумме длин оснований трапеции. Сколько раз средняя линия укладывается на этом отрезке?

На основе выполнения задания выдвигается гипотеза о том, что средняя линия параллельна основаниям трапеции и равна ее половине.

Далее формулируется теорема, делается чертеж, записывается, что дано и требуется доказать.

Дано: ABCD – трапеция, AD и ВС – основания, QP – средняя линия.

Доказать:

1) QP||AD, QP||BC,

2) QP=1/2(AD+BC).

4-й этап. Анализ. Поиск путей доказательства:

Дайте определение трапеции. Какие прямые в нашем случае параллельны, как они называются? Требуется доказать, что средняя линия параллельна двум основаниям, то есть двум параллельным прямым. Как упростить путь доказательства этого факта? Достаточно доказать параллельность одному из оснований.

Чем можно воспользоваться? Для какой фигуры, кроме трапеции определено понятие средней линии? Нельзя ли использовать теорему о средней линии треугольника для доказательства? Можно ли отыскать или провести дополнительные построения, чтобы получить треугольник, средняя линия которого совпадает со средней линией трапеции?

5-й этап. Синтез. Составление плана доказательства.

6-й этап. Осуществление доказательства. Запись.

Доказательство:

1. Дополнительное построение: проведем луч ВР до пересечения с лучом AD. Е – точка пересечения.

2. Рассмотрим DBCP и DEDP:

СР=DP (P – середина CD),

ÐBPC=ÐEPD (как вертикальные углы),

ÐBCP=ÐEDP (как накрест лежащие углы при параллельных BC и AD и секущей CD),

DBCP=DEDP (по второму признаку).

Значит BC=DE, BP=PE (из равенства треугольников).

3. DABE:

Q – середина AB, P – середина CD,

QP – средняя линия DABE:

QP||AE, QP=1/2AE=1/2(AD+DE)=1/2(AD+BC) (по свойству средней линии и по построению).

4. BC||AD, QP||AD, значит QP||BC (по теореме о параллельности двух прямых третьей).

7-й этап. Усвоение содержания теоремы и ее доказательства:

Повторить формулировку теоремы и основные этапы ее доказательства или предложить учащимся прочитать соответствующий материал в учебнике.

Можно также применить и другой порядок работы:

Наметить план доказательства;

Провести доказательство устно;

Провести повторное доказательство с краткой записью.

8-й этап. Первичное закрепление теоремы. Уместны устные задачи по готовым чертежам. Например, такие:

Доказать, что ВН – высота трапеции

9-й этап. Применение теоремы

Проанализировать систему упражнений учебника на применение свойств средней линии трапеции. Подобрать ключевые задачи по теме для решения их на специальном уроке.

II МОДУЛЬ

ПРАКТИЧЕСКИЙ