Многочлены от нескольких переменных. Симметрические многочлены. Теорема о симметрических многочленах

Возьмем две буквы x и y. Произведение где а – число, называется одночленом. Его степень равна k+l. Сумма одночленов называется многочленом. В отличие от многочленов с одной переменной, для многочленов с большим числом переменных нет общепринятой стандартной записи.
Так же, как и многочлены от одной переменной, многочлены от двух переменных могут раскладываться на множители. Важным разложением является разложение разности n- ых степеней, которое вам известно для n=2 и 3:


Эти формулы легко обобщаются для произвольного n:

Сумма n- ых степеней легко раскладывается в случае, когда n нечетно. Слагаемое можно представить в виде и воспользоваться формулой разложения разности n- ых степеней.

Симметричные многочлены
Среди многочленов от двух переменных важную роль играют симметричные многочлены, т. е. многочлены, не меняющиеся при перестановке букв x и y.

Симметри́ческий многочле́н — многочлен от n переменных , не изменяющийся при всех перестановках входящих в него переменных.

Примеры

• Дискриминант — многочлен вида , где — корни некого многочлена от одной переменной: .

• Степенные суммы — суммы одинаковых степеней переменных, то есть

• Основные симметрические многочлены — многочлены вида

определённые для , то есть такие: