Нормальная форма записи многочленов. Степень многочлена и ее свойства. Кольцо многочленов над областью целостности

Фробениусовой нормальной формой линейного оператора называется блочно-диагональная матрица, состоящая из фробениусовых клеток вида.

и является матрицей данного линейного оператора в некотором базисе.

Свойства

• Коэффициентами характеристического многочлена фробениусовой клетки являются , , , из приведённой выше матрицы, и многочлен имеет вид .

Свойства

• Кольцо многочленов факториально: любой многочлен разлагается в произведение неприводимых многочленов, причем это разложение определено однозначно с точностью до постоянных множителей.
• Над полем вещественных чисел любой неприводимый многочлен одной переменной имеет степень 1 или 2, причем многочлен 2-й степени неприводим тогда и только тогда, когда он имеет отрицательный дискриминант.
• Над любым полем алгебраических чисел существуют неприводимый многочлен сколь угодно высокой степени; например, многочлен , где и ― некоторое простое число, неприводим в силу критерия Эйзенштейна.
• Если — конечное поле из элементов, а — натуральное число, то существует хотя бы один неприводимый многочлен степени n из .
• Предположим ― целозамкнутое кольцо с полем частных (например и ) и ― многочлен одной переменной со старшим коэффициентом 1, тогда в , причем и имеют старший коэффициент 1, то .
• Редукционный критерий неприводимости. Пусть задан гомоморфизм областей целостности . Если степень многочлена совпадает со степенью многочлена и неприводим над полем частных области , то не существует разложения , где и отличны от константы.
• Например, многочлен со старшим коэффициентом прост в (и, следовательно, неприводим в ), если прост многочлен , полученный из редукцией коэффициентов по модулю простого числа.

Область целостности (или целостное кольцо, или область цельности или просто область) — понятие абстрактной алгебры: ассоциативное коммутативное кольцо без делителя нуля (произведение ненулевых элементов не равно 0).

Эквивалентное определение: область целостности — это ассоциативное коммутативное кольцо, в котором нулевой идеал {0} является простым. Любая область целостности является подкольцом своего поля частных.

Примеры

• Простейший пример области целостности — кольцо целых чисел .
• Любое поле является областью целостности. С другой стороны, любая артинова область целостности есть поле. В частности, все конечные области целостности суть конечные поля.
• Кольцо многочленов с коэффициентами из некоторого целостного кольца также является целостным. Например, целостными будут кольцо многочленов одной переменной с целочисленными коэффициентами и кольцо многочленов двух переменных с вещественными коэффициентами.
• Множество действительных чисел вида есть подкольцо поля , а значит, и область целостности. То же самое можно сказать про множество комплексных чисел вида , где и целые (множество Гауссовых целых).
• Пусть — связное открытое подмножество комплексной плоскости . Тогда кольцо всех голоморфных функций будет целостным. То же самое верно для любого кольца аналитических функций, определённых на связном подмножестве аналитического многообразия.
• Если — коммутативное кольцо, а — идеал в , то факторкольцо целостное тогда и только тогда, когда — простой идеал.