Взаимно простые многочлены. Определение, свойства

Т. Критерий взаимной простоты.
Для того, чтобы многочлены f(x) и g(x) из F[x] были взаимно простыми, необходимо и достаточно, чтобы в F[x] существовали такие u(x) и v(x), что u(x)f(x)+v(x)g(x)=1.
Док-во:
- Необходимость: очевидно.
- Достаточность: Пусть d(x) - НОД многочленов f(x) и g(x). Значит каждое из слагаемых левой части делится на d(x). А значит и правая часть делится на d(x). Следовательно d(x) - ненулевая константа.

Свойства взаимно простых многочленов.
Т. Если многочлен f(x) взаимно прост с каждым из многочленов g(x) и h(x), то он взаимно прост и с их произведением.
Док-во:
Из условия следует, что найдутся такие u(x), v(x), u1(x), v1(x), что:
u(x)f(x)+v(x)g(x)=1
u1(x)f(x)+v1(x)h(x)=1.
Складывая эти неравенства, получим:
(u(x)u1(x)f(x)+u(x)v1(x)h(x)+v(x)g(x)u1(x))*f(x) + (v(x)v1(x))*g(x)h(x) = 1

Т. f(x)h(x):g(x), НОД(f(x),g(x))=1 ===> h(x):g(x).
Док-во:
u(x)f(x)+v(x)g(x)=1
u(x)f(x)h(x)+v(x)g(x)h(x)=h(x)
1-ое слагаемое делится на g(x) по условию, второе - очевидно. След-но правая часть делится на g(x).

Т. f(x):g(x), f(x):h(x), НОД(g,h)=1, ===> f(x):g(x)h(x).
Док-во:
Сущ. q(x) такое, что f(x)=q(x)g(x) ===> q(x):h(x).
Сущ. q1(x) такое, что q(x)=q1(x)h(x) ===> f(x)=q1(x)g(x)h(x).

28. Неприводимые многочлены. Определение, свойства.

Неприводимый многочлен — многочлен, неразложимый на нетривиальные (неконстантные) многочлены. Неприводимые многочлены являются неприводимыми элементами кольца многочленов.

Определение

Неприводимый многочлен над полем ― многочлен от переменных над полем является простым элементом кольца , то есть, непредставим в виде произведения , где и ― многочлены с коэффициентами из , отличные от констант.

Многочлен называется абсолютно неприводимым, если он неприводим над алгебраическим замыканием поля коэффициентов. Абсолютно неприводимые многочлены одной переменной ― это многочлены 1-й степени и только они. В случае нескольких переменных существуют абсолютно неприводимые многочлены сколь угодно высокой степени — например, любой многочлен вида

абсолютно неприводим.

Свойства

• Кольцо многочленов факториально: любой многочлен разлагается в произведение неприводимых многочленов, причем это разложение определено однозначно с точностью до постоянных множителей.
• Над полем вещественных чисел любой неприводимый многочлен одной переменной имеет степень 1 или 2, причем многочлен 2-й степени неприводим тогда и только тогда, когда он имеет отрицательный дискриминант.
• Над любым полем алгебраических чисел существуют неприводимый многочлен сколь угодно высокой степени; например, многочлен , где и ― некоторое простое число, неприводим в силу критерия Эйзенштейна.
• Если — конечное поле из элементов, а — натуральное число, то существует хотя бы один неприводимый многочлен степени n из .
• Предположим ― целозамкнутое кольцо с полем частных (например и ) и ― многочлен одной переменной со старшим коэффициентом 1, тогда в , причем и имеют старший коэффициент 1, то .
• Редукционный критерий неприводимости. Пусть задан гомоморфизм областей целостности . Если степень многочлена совпадает со степенью многочлена и неприводим над полем частных области , то не существует разложения , где и отличны от константы.

Например, многочлен со старшим коэффициентом прост в (и, следовательно, неприводим в ), если прост многочлен , полученный из редукцией коэффициентов по модулю простого числа.

29. Каноническое разложение многочлена на неприводимые многочлены.

Рассмотрим самый общий случай. Пусть дано некоторое поле многочленов GF (q), где q = pⁿ, n — степень модуля q, а p — характеристика. Обозначим через g ₁(x), g ₂(x),..., g_{q –1}(x) различные неприводимые многочлены над полем чисел GF (p), отвечающие примитивным корням: c ₁, c ₂,..., c_{q –1}. Утверждается, что существует единственно возможное разложение многочлена x^{q –1} – 1 на множители g_i (x); или, что одно и то же, каждый элемент c_i является корнем многочлена x^{q –1} – 1; или, наконец, исходный приводимый многочлен можно представить в виде произведения порождающего g (x) и проверочного h (x) многочленов:

Здесь c — примитивный корень порождающего многочлена g (x), а для проверочного многочлена h (x) берутся те степени c ^j, которые не вошли в многочлен g (x). Как видим, действия с многочленами во многом схожи с действиями над числами. Приводимый многочлен вида x^{q –1} – 1 играет роль составного числа a, его примитивные корни c ₁, c ₂,..., c_{q –1} ассоциируются с простыми сомножителями p ₁, p ₂,..., p _k, а последняя формула разложения на множители аналогична каноническому разложению составного числа a = p ₁ ^{n 1} p ₂ ^{n 2}.... p_k^nk. Многочлены g (x) и h (x) играют роль двух делителей числа a = g · h. Корни исходного многочлена играют роль базиса, по которому многочлены g (x) и h (x) могут быть разложены. Таким образом, теория полей многочленов смыкается с теорией линейных пространств. Покажем, как это осуществляется практически.

Если c — примитивный корень многочлена g (x), то

g (c) = g ₀ + g ₁ c + g ₂ c ² +... + g_ncⁿ = 0.

Выразим степени корней cⁿ и c^{n +1} через линейную комбинацию младших степеней корней c, c ²,..., c^{n –1} (g_n = 1):

cⁿ = g ₀ + g ₁ c + g ₂ c ² +... + g_{n –1} c^{n –1},

c^{n +1} = g ₀ c + g ₁ c ² + g ₂ c ³ +...

... + g_{n –1}(g ₀ + g ₁ c + g ₂ c ² +... + g_{n –1} c^{n –1}).

Следовательно, все степени cⁱ при i > n линейно выражаются через первые n степеней; число таких комбинаций не превышает величину q – 1. Следует также иметь в виду, что не только g (c) = 0, но и

g (c ²) = g (c ³) =... = g (c^{q –1}) = 0.