Уравнение релятивистской динамики

В ньютоновой механике обычная трехмерная 3-сила определяется как скорость изменения во времени количества движения, переносимого на данное тело от окружающих тел и полей (равенство Ньютона является одновременно и определением силы, и законом движения). Аналогично поступим и в релятивистской механике, не забывая в то же время, что делить (множить) следует только на инвариантные величины.

По определению 4-сила - это скорость изменения 4-импульса, оцененная в течение собственного времени движущегося тела (точки; частицы), т.е. . Подставляя значение 4-импульса, можно представить 4-силу в виде

или

=

Подставив значение и учтя явный вид компонент импульса и , получим величину

(8.4)

Так выглядит 4-сила в системе I (в которой время t, скорость ). Ниже структура будет представлена в более компактном виде.

Здесь возникает важный вопрос: если при скоростях значительно меньших скорости света (), т.е. в ньютоновой механике, сила определяется по второму закону Ньютона равенством (индекс "н" указывает на ньютонову механику), то как следует обобщить понятие 3-силы на любые скорости, вплоть до как угодно близких к скорости света?

Ответ на такие вопросы может давать только практика, эксперименты, опыт. Вся современная экспериментальная физика подтверждает, что под релятивистской 3-силой следует понимать величину, являющуюся производной от релятивистского 3 импульс

(8.5)

Это равенство обобщает ньютонову трактовку 3-силы. В то же время оно представляет основной закон движения частицы (материальной точки) в инерциальной системе отсчета при любых возможных скоростях меньших с.

Рассмотрим закон преобразования компонент 4-силы, представленных формулой (8.4). Учитывая (8.5), представим 4-силу в окончательном виде

(8.6)

Как видим, в структуру 4-силы Минковского входит релятивистская

трехмерная сила и ее мощность .

Рассмотрим дальше преобразование компонент 4-силы при переходе от ИСО I к ИСО П, которая движется со скоростью v относительно системы I в направлении оси х. При этом в системе I предполагается известным мгновенное значение скорости точки (v_x,v_y,v_z) и сила . Преобразование 4-силы позволит определить также и величину трехмерной силы в системе II. Как уже указывалось, преобразование компонент 3-векторов определяется на основе сначала преобразования 4-векторов (при переходе ). Итак, нужно подвергнуть компоненты 4-силы , т.е.

(8.7)

преобразованиям Лоренца. Применяя их к (8.7), получим четыре формулы, дающие окончательный вариант преобразований

(8.8a)

(8.8b)

Следовательно, при переходе от системы отсчет I к системе II проекции 3-силы изменяются; они остаются неизменными в нерелятивистском случае, когда . Первая из полученных формул определяет мощность силы в системе II, остальные три - проекции силы.

15) Релятивистское выражение для энергии

В релятивистской механике справедливым остается выражение

.

Это означает, что . Откуда видно, что сила не является инвариантной величиной. Кроме того, сила F и ускорение a не коллениарны.

Легко получить выражение для кинетической энергии. Поскольку

dE_k = dA и dE_k = v · p · dt, dA = F · ds

.

Отсюда следует, что E₀ = mc² является энергией покоя. Энергия и импульс в релятивистской механике не сохраняются. Инвариантом является выражение:

Взаимосвязь массы и энергии. Границы применимости механики Ньютона.