Статистическое определение энтропии: принцип Больцмана

В 1877 году Людвиг Больцман установил связь энтропии с вероятностью данного состояния. Позднее эту связь представил в виде формулы Макс Планк:

где константа 1,38·10⁻²³ Дж/К названа Планком постоянной Больцмана, а — статистический вес состояния, является числом возможных микросостояний (способов), с помощью которых можно составить данное макроскопическое состояние. Этот постулат, названный Альбертом Эйнштейном принципом Больцмана, положил начало статистической механике, которая описывает термодинамические системы, используя статистическое поведение составляющих их компонентов. Принцип Больцмана связывает микроскопические свойства системы () с одним из её термодинамических свойств ().

Рассмотрим, например, идеальный газ в сосуде. Микросостояние определено как позиции и импульсы (моменты движения) каждого составляющего систему атома. Связность предъявляет к нам требования рассматривать только те микросостояния, для которых: (I) месторасположения всех частей расположены в рамках сосуда, (II) для получения общей энергии газа кинетические энергии атомов суммируются.

Согласно определению, энтропия является функцией состояния, то есть не зависит от способа достижения этого состояния, а определяется параметрами этого состояния. Так как может быть только натуральным числом (1, 2, 3, …), то энтропия Больцмана должна быть неотрицательной — исходя из свойств логарифма.

Связь между термодинамической вероятностью состояния системы и ее энтропией была установлена в 1875 г. двумя знаменитыми учеными – Д. Гиббсом и Л. Больцманом. Эта связь выражается формулой Больцмана, которая имеет вид:

,

(4.56)

где , R – универсальная газовая постоянная, N_A – число Авогадро. О логарифмической зависимости между энтропией и термодинамической вероятностью можно сделать вывод на основе следующих соображений. Из определения энтропии ясно, что энтропия любого вещества пропорциональна массе. Это значит, что энтропия всей системы равна сумме энтропий ее отдельных частей. Разделим вещество на две части, тогда, очевидно, что

.

По законам теории вероятности вероятность данного состояния всей массы вещества равна произведению вероятностей состояния его отдельных частей, то есть

.

Таким образом, суммированию энтропий соответствует умножение термодинамических вероятностей отдельных частей. Из всех математических функций такими свойствами обладает только логарифмическая функция.

24) Второе начало термодинамики — физический принцип, накладывающий ограничение на направление процессов передачи тепла между телами.

Второе начало термодинамики запрещает так называемые вечные двигатели второго рода, показывая, что коэффициент полезного действия не может равняться единице, поскольку для кругового процесса температура холодильника не может равняться абсолютному нулю (невозможно построить замкнутый цикл, проходящий через точку с нулевой температурой).

Существуют несколько эквивалентных формулировок второго начала термодинамики:

· Постулат Клаузиуса: «Невозможен процесс, единственным результатом которого являлась бы передача тепла от более холодного тела к более горячему»^[1] (такой процесс называется процессом Клаузиуса).

· Постулат Томсона (Кельвина): «Невозможен круговой процесс, единственным результатом которого было бы производство работы за счет охлаждения теплового резервуара» (такой процесс называется процессом Томсона).

Эквивалентность этих формулировок легко показать. В самом деле, допустим, что постулат Клаузиуса неверен, то есть существует процесс, единственным результатом которого была бы передача тепла от более холодного тела к более горячему. Тогда возьмем два тела с различной температурой (нагреватель и холодильник) и проведем несколько циклов тепловой машины, забрав тепло у нагревателя, отдав холодильнику и совершив при этом работу . После этого воспользуемся процессом Клаузиуса и вернем тепло от холодильника нагревателю. В результате получается, что мы совершили работу только за счет отъёма теплоты от нагревателя, то есть постулат Томсона тоже неверен.

С другой стороны, предположим, что неверен постулат Томсона. Тогда можно отнять часть тепла у более холодного тела и превратить в механическую работу. Эту работу можно превратить в тепло, например, с помощью трения, нагрев более горячее тело. Значит, из неверности постулата Томсона следует неверность постулата Клаузиуса.

Таким образом, постулаты Клаузиуса и Томсона эквивалентны.

Другая формулировка второго начала термодинамики основывается на понятии энтропии:

· «Энтропия изолированной системы не может уменьшаться» (закон неубывания энтропии).

25) Электри́ческий заря́д — это физическая скалярная величина, определяющая способность тел быть источником электромагнитных полей и принимать участие в электромагнитном взаимодействии.

Совокупность всех известных экспериментальных фактов позволяет сделать следующие выводы:

· Существует два рода электрических зарядов, условно названных положительными и отрицательными.

· Заряды могут передаваться (например, при непосредственном контакте) от одного тела к другому. В отличие от массы тела электрический заряд не является неотъемлемой характеристикой данного тела. Одно и то же тело в разных условиях может иметь разный заряд.

· Одноименные заряды отталкиваются, разноименные – притягиваются. В этом также проявляется принципиальное отличие электромагнитных сил от гравитационных. Гравитационные силы всегда являются силами притяжения.

Одним из фундаментальных законов природы является экспериментально установленный закон сохранения электрического заряда.

В изолированной системе алгебраическая сумма зарядов всех тел остается постоянной:

q1 + q2 + q3 +... +qn = const.

Закон сохранения электрического заряда утверждает, что в замкнутой системе тел не могут наблюдаться процессы рождения или исчезновения зарядов только одного знака.

Зако́н Куло́на — это закон, описывающий силы взаимодействия между неподвижными точечными электрическими зарядами.

Сила взаимодействия зарядов - сила центральная, т. е. направлена вдоль прямой, соединяющей заряды (рис. 1.1). Для изотропной среды закон Кулона записывается следующим образом:

где k – коэффициент пропорциональности; q ₁ и q ₂ - величины взаимодействующих зарядов; r – расстояние между ними; r – радиус-вектор, проведенный от одного заряда к другому и направленный к тому из зарядов, на который действует сила.

Формулировка закона Кулона: «Сила электростатического взаимодействия между двумя точечными электрическими зарядами прямо пропорциональна произведению величин зарядов, обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними и направлена вдоль соединяющей их прямой так, что одноименные заряды отталкиваются, а разноименные притягиваются».

26) Электростатическое поле — поле, созданное неподвижными в пространстве и неизменными во времени электрическими зарядами (при отсутствии электрических токов). Электрическое поле представляет собой особый вид материи, связанный с электрическими зарядами и передающий действия зарядов друг на друга.

Если в пространстве имеется система заряженных тел, то в каждой точке этого пространства существует силовое электрическое поле. Оно определяется через силу, действующую на пробный заряд, помещённый в это поле. Пробный заряд должен быть малым, чтобы не повлиять на характеристику электростатического поля.

Электрическое поле называют однородным, если вектор его напряженности одинаков во всех точках поля.

Основные характеристики электростатического поля:

· напряженность

· потенциал

Напряжённость электри́ческого по́ля — векторная физическая величина, характеризующая электрическое поле в данной точке и численно равная отношению силы действующей на неподвижный^[1] пробный заряд, помещенный в данную точку поля, к величине этого заряда :

.

Принцип суперпозиции. Если поле образовано не одним зарядом, а несколькими, то силы, действующие на пробный заряд, складываются по правилу сложения векторов. Поэтому и напряженность системы зарядов в данной точке, поля равна векторной сумме напряженностей полей от каждого заряда в отдельности.

Обозначим: q - заряд, создающий поле, q₀ - заряд, помещенный в поле (внешний заряд).

Закон Кулона: . Напряженность поля: .

Тогда напряженность поля точечного заряда:

27) Электростатический потенциа́л — скалярная энергетическая характеристика электростатического поля, характеризующая потенциальную энергию, которой обладает единичный положительный пробный заряд, помещённый в данную точку поля. Единицей измерения потенциала в Международной системе единиц (СИ) является вольт), 1 В = 1 Дж/Кл.

Электростатический потенциал равен отношению потенциальной энергии взаимодействия заряда с полем к величине этого заряда:

На всякий заряд, находящийся в электрическом поле, действует сила, и поэтому при движении заряда в поле совершается определенная работа. Эта работа зависит от напряженности поля в разных точках и от перемещения заряда. Но если заряд описывает замкнутую кривую, т. е. возвращается в исходное положение, то совершаемая при этом работа равна нулю, как бы ни было сложно поле и по какой бы прихотливой кривой ни происходило движение заряда.

Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда, не зависит от формы траектории заряда, а определяется его начальным и конечным положением.

Вычислим работу при перемещении электрического заряда в однородном электрическом поле с напряженностью . Если перемещение заряда происходило по линии на пряженности поля на расстояние Ad = d₁-d₂ (рис. 110), то работа равна Однородное электростатическое поле: в каждой точке поля.

. Следовательно:

где d₁ и d₂ — расстояния от начальной и конечной точек до пластины В.

Циркуляция вектора напряженности электрического поля. Работа, совершаемая силами электрического поля при перемещении единичного положительного заряда по замкнутому контуру длиной l, определяется как циркуляция вектора напряженности электрического поля:

Так как для замкнутого пути положения начальной и конечной точек перемещения заряда совпадают, то работа сил электрического поля на замкнутом пути равна нулю, а значит, равна нулю и циркуляция вектора напряженности, т.е. .

Равенство нулю означает, что силы электрического поля являются силами консервативными, а само поле - потенциальным.

28) СВЯЗЬ МЕЖДУ НАПРЯЖЕННОСТЬЮ ПОЛЯ И РАЗНОСТЬЮ ПОТЕНЦИАЛОВ

Чем меньше меняется потенциал на отрезке пути, тем меньше напряженность поля.
Напряженность эл. поля направлена в сторону уменьшения потенциала.

электрическое поле характеризуется двумя физическими величинами: напряженностью (силовая характеристика) и потенциалом (энергетическая характеристика). Выясним как они связаны между собой. Пусть положительный заряд q перемещается силой электрического поля с эквипотенциальной поверхности, имеющей потенциал , на близко расположенную эквипотенциальную поверхность, имеющую потенциал (рис. 13.16).

Напряженность поля Е на всем малом пути dx можно считать постоянной. Тогда работа перемещения С другой стороны . Из этих уравнений получаем

(13.22)

Знак минус обусловлен тем, что напряженность поля направлена в сторону убывания потенциала, тогда как градиент потенциала направлен в сторону возрастания потенциала или так:

,

(3.4.5)

где (набла) означает символический вектор, называемый оператором Гамильтона.

29)Поток вектора. Электростатистическая теорема гаусса

Поток dФЕ вектора напряженности Е через малую площадку dS есть скалярное произведение векторов E и dS

Под вектором d S понимается вектор, направленный перпендикулярно к плоскости площадки и равный по величине площади этой элементарной площадки dS. Направление d S задается правилом обхода контура площадки, и для замкнутых поверхностей совпадает с направлением внешней нормали.

Рис. 1.15. Поток вектора напряженности электрического поля E через малую площадку d S

Следовательно, поток вектора напряженности E через площадку dS запишется в виде:

(1.7)

где   угол между векторами E и n, E_n  нормальная к поверхности dS составляющая вектора E.

Поток вектора E через произвольную поверхность S равен интегралу по этой поверхности

(1.8)

Если векторное поле напряженности однородно, а поверхность плоская, то

Теорема Гаусса (закон Гаусса) — один из основных законов электродинамики, входит в систему уравнений Максвелла. Выражает связь (а именно равенство с точностью до постоянного коэффициента) между потоком напряжённости электрического поля сквозь замкнутую поверхность и зарядом в объёме, ограниченном этой поверхностью.

Общая формулировка: Поток вектора напряженности электростатического поля через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри этой поверхности, деленной на электрическую постоянную ε₀.

· — поток вектора напряжённости электрического поля через замкнутую поверхность .

· — полный заряд, содержащийся в объёме, который ограничивает поверхность .

· — электрическая постоянная.

Данное выражение представляет собой теорему Гаусса в интегральной форме.

30) Диэлектрик (изолятор) — вещество, практически не проводящее электрический ток. Концентрация свободных носителей заряда в диэлектрике не превышает 10⁸ см⁻³. Основное свойство диэлектрика состоит в способности поляризоваться во внешнем электрическом поле.

диэлектрики — материалы, у которых ρ > 10⁸ Ом·м.

у лучших диэлектриков удельное сопротивление должно превосходить 10¹⁶ Ом·м.

К диэлектрикам относятся воздух и другие газы, стёкла, различные смолы, пластмассы, многие виды резины. Ряд диэлектриков проявляют интересные физические свойства. К ним относятся электреты, пьезоэлектрики, пироэлектрики, сегнетоэластики, сегнетоэлектрики, релаксоры и сегнетомагнетики.

Диэлектрики используются не только как изоляционные материалы.

Диэлектриками называются вещества, которые при обычных условиях практически не проводят электрический ток.

По классической теории электропроводности в диэлектриках отсутствуют свободные носители заряда, которые могли бы под действием электрического поля образовать электрический ток проводимости. Диэлектриками являются: все газы, если они не ионизировались; жидкости – дистиллированная вода, бензол, нефтяные и растительные масла; твердые тела – стекло, фарфор, слюда и др. Удельное сопротивление диэлектриков в 10²⁰ раз больше, чем проводников.

Все молекулы диэлектрика электрически нейтральны. Тем не менее они обладают электрическими свойствами. В первом приближении молекула – электрический диполь с электрическим моментом , где – суммарный положительный заряд всех атомных ядер в молекуле; – вектор, проведенный из «центра тяжести» электронов в молекуле в «центр тяжести» положительных зарядов атомных ядер. «Центр тяжести» заряда надо понимать также, как центр тяжести материального тела, только по отношению к зарядовому свойству частицы. Сравните обруч и диск, у которых центры тяжести совпадают с центрами симметрии, несмотря на то, что масса обруча распределена по его ободу, а у диска по всей окружности. Электронное облако в молекуле можно представить как обруч, только заряженный, центр тяжести заряда которого расположен в центре облака.

Диэлектрик неполярный, если при отсутствии внешнего электрического поля «центры тяжести» положительных и отрицательных зарядов в молекулах этого диэлектрика совпадают, и дипольные моменты молекул равны нулю

Диэлектрик неполярный, если при отсутствии внешнего электрического поля «центры тяжести» положительных и отрицательных зарядов в молекулах этого диэлектрика совпадают, и дипольные моменты молекул равны нулю (рис. 4.1).

К неполярным диэлектрикам относятся молекулы водорода, кислорода, азота и др. Поместим такой диэлектрик во внешнее электрическое поле, которое по-разному действует на положительные и отрицательные заряды молекул: поле «тянет» положительные заряды по полю, а отрицательные – против поля. Между «центрами тяжести» положительных и отрицательных зарядов появится наведенное плечо диполя , т. е. неполярная молекула приобретает во внешнем электрическом поле индуцированный электрический момент , величина которого пропорциональна напряженности внешнего поля (рис. 4.1).

Неполярная молекула подобна упругому диполю, длина плеча которого , пропорциональная растягивающей его силе, т. е. пропорциональна напряженности внешнего электрического поля. Тепловое движение молекул никак не влияет на величину и ориентацию индуцированных электрических моментов .

Диэлектрик полярный (диэлектрик с полярными молекулами), если его молекулы (атомы) имеют электроны, расположенные несимметрично относительно атомных ядер. К таким диэлектрикам относятся вода, спирты, полихлорид и др. При несимметричном расположении электронов «центры тяжести» положительных и отрицательных зарядов не совпадают, даже когда нет внешнего электрического поля (сравните окружность, у которой один центр, и эллипс, у которого два центра).

Если такую молекулу поместить во внешнее электрическое поле с напряженностью , то следует ожидать, что она будет деформироваться, как и неполярная молекула. Однако полярная молекула напоминает жесткий диполь, у которого расстояние между «центрами тяжести» положительных и отрицательных зарядов (плечо ) не меняется под действием внешнего поля, а вот ориентация его электрического момента может измениться. Пара сил со стороны электрического поля может развернуть молекулу (атом) полярного диэлектрика (рис. 4.2).

Рис. 4.2. Молекула полярного диэлектрика во внешнем электрическом поле: а – когда поля нет – вектор пропорционально ориентирован; б – молекула во внешнем электрическом поле

Смещение электрических зарядов вещества под действием электрического поля называется поляризацией. Способность к поляризации является основным свойством диэлектриков. Поляризация — состояние диэлектрика, которое характеризуется наличием электрического дипольного момента у любого (или почти любого) элемента его объема.

Различают поляризацию, наведенную в диэлектрике под действием внешнего электрического поля, и спонтанную (самопроизвольную) поляризацию, которая возникает в сегнетоэлектриках в отсутствие внешнего поля. В некоторых случаях поляризация диэлектрика (сегнетоэлектрика) происходит под действием механических напряжений, сил трения или вследствие изменения температуры.

Диэлектрик, помещенный во внешнее электрическое поле, поляризуется под действием этого поля. Поляризацией диэлектрика называется процесс приобретения им отличного от нуля макроскопического дипольного момента.

Степень поляризации диэлектрика характеризуется векторной величиной, которая называется поляризованостью или вектором поляризации (P). Поляризованность определяется как электрический момент единицы объема диэлектрика

,

где N - число молекул в объеме . Поляризованность P часто называют поляризацией, понимая под этим количественную меру этого процесса.

В диэлектриках различают следующие типы поляризации: электронную, ориентационную и решеточную (для ионных кристаллов).