Уравнение малых колебаний

В общем случае колебаниями называют любые периодические движения, ограниченные в пространстве. Из всех возможных выделяют гармонические колебания, реализующиеся при малых амплитудах.

Рисунок 9.1 – Гармонические колебания тела под действием внешних сил

m

η

Пусть на тело, помещенное в вязкую среду (рис. 9.1), действуют постоянная во времени сила и упругая сила . В этом случае при малых колебаниях возникает сила вязкого трения:

.

Запишем II закон Ньютона для тела, массой m, помещенного в вязкую среду:

,

,

.

Последнее уравнение представляет собой дифференциальное уравнение малых колебаний.

Каждое слагаемое этого уравнения делим на m:

,

где – коэффициент затухания,

– частота собственных колебаний.

С учетом коэффициента затухания и частоты собственных колебаний дифференциальное уравнение малых колебаний запишется в виде:

.