Свободные гармонические колебания

В случае отсутствия сопротивления среды, т.е. затухания (), уравнение малых колебаний принимает вид уравнения гармонических колебаний или уравнения гармонического осциллятора:

.

Осциллятор (от лат. – качаюсь) – система, совершающая колебания, то есть показатели которой периодически повторяются во времени. Понятие осциллятора играет важную роль в теории твёрдого тела, электромагнитных излучений, колебательных спектров молекул. Примеры простейших осцилляторов – маятник и колебательный контур.

Решение уравнения малых колебаний ищется в виде:

, ,

.

Так как , то . Следовательно, , а .

Используя формулу Эйлера: , выделяем вещественную часть и получаем решение гармонических колебаний в виде:

,

где a₀ – амплитуда – наибольшее отклонение от положения равновесия;

() – фаза колебаний – характеризует состояние системы в любой момент времени;

φ₀ – начальная фаза – показывает состояние системы в начальный момент времени;

ω₀ – циклическая частота колебаний – количество колебаний за 2π секунд, :

,

υ – частота колебаний – количество колебаний в единицу времени (за одну секунду), ;

Т – период колебаний – время одного колебания, :

.