Центр тяжести тела

Первым открытием Архимеда в механике было введение понятия центра тяжести, т.е. доказательство того, что в любом теле есть единственная точка, в которой можно сосредоточить его вес, не нарушив равновесного состояния.

Центр тяжести тела – точка твердого тела, через которую проходит равнодействующая всех сил тяжести, действующих на элементарные массы этого тела при любом его положении в пространстве.

Центром тяжестимеханической системы называется точка, относительно которой суммарный момент сил тяжести, действующих на все тела системы, равен нулю.

Проще говоря, центр тяжести – это точка, к которой приложена сила тяжести независимо от положения самого тела. Если тело однородное, центр тяжести обычно расположен в геометрическом центре тела. Таким образом, центр тяжести в однородном кубе или однородном шаре совпадает с геометрическим центром этих тел.

yi

С

Х

Z

Y

xi

zi

Pi

O

Рисунок 7.1 – К определению центра тяжести твердого тела

Если размеры тела малы по сравнению с радиусом Земли, то можно считать, что силы тяжести всех частиц тела образуют систему параллельных сил. Их равнодействующая называется силой тяжести, а центр этих параллельных сил – центром тяжести тела.

Координаты центра тяжести тела могут быть определены по формулам (рис. 7.1):

, , ,

где – вес тела x_i, y_i, z_i – координаты элементарной частицы, весом Р_i;.

Формулы для определения координат центра тяжести тела являются точными, строго говоря, лишь при раз­биении тело на бесконечное число бесконечно малых элементарных частиц весом Р_i. Если же число частиц, на которые мысленно разбито тело, конечное, то в общем случае эти формулы будут приближенными, так как координаты x_i, y_i, z_i при этом мо­гут быть определены лишь с точностью до размеров частиц. Чем меньше эти частицы, тем меньше будет ошибка, которую мы сделаем при вычислении ко­ординат центра тяжести. К точным выражениям можно прийти лишь в ре­зуль­тате предельного перехода, когда размер каждой частицы стремится к нулю, а число их неограниченно возрастает. Как известно, такой предел называется оп­ределенным интегралом. Поэтому фактическое определение координат центров тяжести тел в общем случае тре­бует замены сумм соответствующими им интегралами и применения методов интегрального исчисления.

Если масса внутри твердого тела или механической системы распределяется неоднородно, то центр тяжести смещается в ту часть, где оно тяжелее.

Центр тяжести тела не всегда даже может находиться внутри самого тела. Так, например, центр тяжести бумеранга находится где-то посередине между оконечностей бумеранга, но вне самого тела бумеранга.

Для крепления грузов положение центра тяжести очень важно. Именно в эту точку приложены силы тяжести и инерционные силы, действующие на груз в процессе движения. Чем выше находится центр тяжести тела или механической системы, тем более оно склонно к опрокидыванию.

Центр тяжести тела совпадает с центром масс.