Закон сохранения полной механической энергии

Пусть механическая система состоит из n тел массами , движущимися со скоростями . На эти тела действуют F_i – внешние консервативные силы, – внешние и внутренние неконсервативные силы, F_ik – внутренние консервативные силы взаимодействия тел системы между собой (i ≠ k). Запишем II закон Ньютона для каждого тела механической системы:

Суммируем все слагаемые системы:

.

Т.к. , то левую часть равенства умножим на , а каждое слагаемое правой части умножим на :

.

Рассмотрим каждое слагаемое полученного уравнения и получим:

– полный дифференциал кинетической энергии всех тел системы;

– полный дифференциал работы внешних консервативных сил;

– полный дифференциал работы неконсервативных сил;

– работа внутренних консервативных сил взаимодействия равна изменению потенциальной энергии взаимодействия.

Окончательно получаем:

.

То есть дифференциал полной механической энергии равен сумме дифференциалов работы неконсервативных и внешних консервативных сил:

.