Взаимное расположение прямых на плоскости. Угол между двумя прямыми

Если две прямые l₁ и l₂ лежат на плоскости, то возможны три различных случая их взаимного расположения: 1)пересекаются (т.е. имеют одну общую точку); 2) параллельны и не совпадают; 3) совпадают.

Выясним, как узнать, какой из этих случаев имеет место, если эти прямые заданы своими уравнениями в общем виде:

(12)

Если прямые l₁ и l₂ пересекаются в некоторой точке М(х,у), то координаты этой точки должны удовлетворять обоим уравнениям системы (12).

Следовательно, чтобы найти координаты точки пересечения прямых l₁ и l₂, надо решить систему уравнений (12):
1) если система (12) имеет единственное решение, то прямые l₁ и l₂ пересекаются;
2) если система (12) не имеет решения, то прямые l₁ и l₂ параллельны;
3) если система (12) имеет множество решений, то прямые l₁ и l₂ совпадают.

Условием совпадения двух прямых является пропорциональность соответствующих коэффициентов их уравнений.

Пример 10. Пересекаются ли прямые 3х+4у-1=0 и 2х+3у-1=0?

Решение: Решим систему уравнений: система имеет единственное решение, следовательно прямые пересекаются. Точка пересечения прямых имеет координаты (-1;1).

Пример 11. Параллельны, ли прямые 2х-у+2=0 и 4х-2у-1=0?

Решение: Решим систему уравнений
Эта система не имеет решений, следовательно прямые параллельны.

Пример 12. Совпадают ли прямые х+у+1=0 и 3х+3у+3=0?

Решение: Совпадают, так как коэффициенты пропорциональны.

Пример 13. Составить уравнение прямой линии, проходящей через точку пересечения прямых х+у-1=0, х-у+2=0 и через точку (2,1).

Решение: Находим координаты точки пересечения двух данных прямых линий. Для этого решаем данные уравнения совместно. Складывая, находим: 2х+1=0, откуда
Вычитая из первого уравнения второе, получаем: 2у-3=0, откуда . Далее, остается составить уравнение прямой линии по двум точками () и (2;1)
Искомое уравнение будет , или или откуда или x+5y-7=0

Углом между двумя прямыми на плоскости называется угол между их направляющими векторами. По этому определению получаются не один угол, а два смежных угла, дополняющих друг друга до . В элементарной геометрии из двух смежных углов, как правило, выбирается меньший, т.е. величина угла между двумя прямыми удовлетворяет условию .

Если и направляющие векторы прямых и соответственно (рис.3.23,а), то величина угла между этими прямыми вычисляется по формуле:

Чтобы получить величину острого угла между прямыми, нужно правую часть взять по абсолютной величине:

Угол между прямыми (3.19) можно вычислить как угол между их нормалями и :

(3.22)

Чтобы получить величину острого угла между прямыми, нужно правую часть взять по абсолютной величине:

Необходимым и достаточным условием перпендикулярности прямых (3.19) является условие ортогональности их нормалей, т.е. равенства нулю скалярного произведения их нормалей :

По формуле (3.22) получаем острый угол между прямыми (3.19), если (рис.3.23,а), и тупой в противном случае: (рис.3.23,6). Другими словами, по формуле (3.22) находится тот угол между прямыми, в котором лежат точки, принадлежащие разноименным полуплоскостям, опреляемым данными прямыми. На рис.3.23 положительные и отрицательные полуплоскости отмечены знаками плюс "+" или минус "–" соответственно.

Если прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами:

то угол между ними (один из смежных углов) находится по формуле

(3.23)

Если правая часть (3.23) положительна, то угол острый (рис.3.24), в противном случае — тупой. Чтобы получить острый угол , нужно правую часть (3.23) взять по абсолютной величине:

Если (условие параллельности прямых), то . Если (условие перпендикулярности прямых), то правая часть (3.23) не определена . Тогда полагают, что .