Ортогональные системы векторов

Два ненулевых вектора евклидова пространства называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

В обозначениях:

Система векторов евклидова пространства называется ортогональной, если любая пара несовпадающих векторов этой системы ортогональна. Ортогональная система линейно независима.

Доказательство. Предположим, что некоторая ортогональная система линейно зависима. Тогда существует нетривиальная линейная комбинация

Умножая скалярно обе части этого равенства на (для фиксированного ), получим (в силу ортогональности системы) ,

или:

Так как все векторы системы ненулевые, то . В силу произвольности выбора отсюда следует, что все коэффициенты указанной выше линейной комбинации равны нулю, что противоречит предположению об ее нетривиальности. Доказано.

Ортогональная система векторов евклидова пространства называется ортонормированной, если норма каждого ее вектора равна единице.

Теорема 1.1 (об ортогонализации) В евклидовом пространстве любой базис может быть преобразован к ортонормированному базису.

Доказательство. Пусть дан произвольный базис в мерном евклидовом пр-ве:

Построим следующие системы, и векторов:

Докажем, что система ортогональна (тогда ясно, что система ортонормированная). Доказательство проведем индукцией по . Базис индукции очевиден, так как система, состоящая из одного ненулевого вектора, ортогональна по определению. Пусть для некоторого подсистема ортогональна. Вычислим скалярное произведение для произвольного . Имеем:

Итак, система ортогональна, и теорема доказана.

Описанная в доказательстве теоремы 1.1 процедура, называемая процедурой ортогонализации Грама-Шмидта

Для систем векторов в евклидовом пространстве может быть определена квадратная матрица, называемая матрицей Грама данной системы векторов.

По определению, это матрица есть результат поэлементного скалярного перемножения транспонированной векторной матрицы-строки, задающей систему векторов на саму эту строку:

,где .

Очевидно, что матрица Грама ортогональной системы является диагональной. В частности, матрица Грама любого ортонорма единичная.

Углом между векторами и евклидова пространства называется величина

Корректность этого определения следует из неравенства Коши-Буняковского: модуль числителя дроби в написанном выше выражении не больше знаменателя, и функция всегда определена.