Понятие линейного пространства

Линейным пространством называется произвольное множество L такое, что для любых двух его элементов a и b однозначно определен

элемент a+b, называемый суммой a и b, для любого элемента a и любого вещественного числа α однозначно определен элемент α∙a, называемый результатом умножения a на число α, причем для операций сложения и умножения на число по определению имеют место следующие свойства:

1) a+b=b+a 2) a+(b+c)=(a+b)+c 3) сущ-вует такой элемент 0, для которого aЄL a+0=a 4) для каждого aЄL существует элемент a’ЄL, называемый противоположным к a такой, что a+a’=0

5) α(a+b)= αa+ αb 6)

7) 8) ,

где a,b,c – произв. элементы L, а α и β – вещ.числа

Элементы множества L называют векторами, а само это множество часто называют векторным пространством. Элемент 0 при этом называют нулевым вектором данного пространства, а вектор a’ такой, что a+a’=0, называют противоположным к вектору a.

Единственность нулевого вектора

Докажем, что нулевой вектор линейного пространства определен однозначно.

Предположим, что существуют два нулевых вектора: 0’ и 0’’; имеем: 0’=0’+0’’=0’’

Единственность противоположного вектора

Докажем, что для каждого вектора существует единственный противоположный к нему вектор.

Пусть для некоторого вектора a нашлись два противоположных к нему вектора: a’ и a’’; тогда получим: Теперь мы можем обозначить вектор, противоположный к вектору a через -a. Мы можем также ввести операцию вычитания для векторов, положив для любых двух векторов a и b: a-b=a+(-b)

Вектор a-b называется при этом разностью векторов a и b. В силу единственности противоположного вектора можно утверждать, что в линейном пространстве любое уравнение вида a+x=b имеет единственное решение: x=b-a.

Результат умножения на нуль

Докажем, что для любого вектора a 0∙a=0

Действительно:

, откуда, 0∙a=a-a=0 (использованы свойства (6) и (8) из определения линейного пространства, а также предыдущее следствие).

Результат умножения на -1.

Докажем, что для любого вектора a (-1)∙a=-a (т.е. если умножить произвольный вектор на -1, то получится противоположный к исходному вектор).

Имеем: , откуда в силу единственности противоположного вектора получаем доказываемое.

Результат умнож. произв. числа на нулевой в-р

Для произвольного вещественного α, α∙0=0.

В самом деле, для произвольного вектора α

Следовательно, α∙0=0.

1.2. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Базис и размерность.

Здесь же мы рассмотрим интересный пример линейного пространства без базиса, т.е. такого линейного пространства, в котором любая линейно независимая система может быть расширена без утраты свойства линейной независимости. С этой целью возьмем пространство функций С[a,b](для произвольных вещественных a,b) и зададим в нем систему функций {1=x⁰_,x,x²,…,xⁿ} для некоторого . Докажем, что эта система линейно независима для любого неотрицательного n. Предположим противное - тогда для некоторого найдется нетривиальная линейная комбинация векторов указанной системы, обращающаяся в нуль. Поскольку нулевой вектор здесь - это функция, тождественно равная нулю на отрезке, то существование такой линейной комбинации равносильно тому, что многочлен , не все коэффициенты которого равны нулю, тождественно равен нулю. Разумеется, это невозможно. Отсюда следует, что заданная выше система векторов (функций) линейно независима при любом n.

Определение 1.2 Линейное пространство, обладающее базисом, называется конечномерным.

Линейное пространство без базиса называется бесконечномерным.