Подпространства и линейные оболочки

Подмножество S линейного пространства L называется подпространством пространства L, если вместе с любыми двумя векторами оно содержит их сумму, а вместе с любым вектором - результат умножения его на любое число.

Подмножество S линейного пространства L является подпространством L тогда и только тогда, когда для любой системы векторов в S оно содержит их произвольную линейную комбинацию.

Примеры. 1) В пространстве V⁽³⁾ всех геометрических векторов подмножество всех векторов, параллельных некоторой плоскости, будет подпространством, а подмножество всех векторов, концы которых лежат на некоторой плоскости, не будет подпространством.

2) Множество всех решений однородной линейной системы есть, как мы видели в первом семестре, векторное пространство, которое будет ни чем иным, как подпространством арифметического пространства Rⁿ (где n в данном случае есть число неизвестных системы).

Линейной оболочкой системы векторов

a₁…a_n некоторого линейного пространства L называется множество всех линейных комбинаций векторов системы.

По определению тогда

Ранг системы векторов равен размерности ее линейной оболочки.

Примеры. 1) В пространстве геометрических векторов возьмем систему векторов, состоящую из некоторых двух ненулевых и неколлинеарных векторов u,v. Тогда (для произвольных вещественных λ и μ).