Решение систем методом Гаусса

Одним из наиболее универсальных и эффективных методов решений систем линейных уравнений является метод Гаусса, состоящий в последовательном исключении неизвестных.

Пусть дана система уравнений

(25)

Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов. На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому (треугольному или трапециевидному) виду. Для этого над строками расширенной матрицы системы проводятся элементарные преобразования, приводящие эту матрицу к ступенчатому виду. Полученная матрица будет эквивалентной матрице , значит и система уравнений, полученная с помощью новой матрицы будет равносильной данной системе уравнений.

Если в процессе приведения системы (25) к ступенчатому виду появятся нулевые уравнения, то есть равенства вида 0=0, их отбрасывают. Если же появится уравнение вида , а то это говорит о том, что данная система уравнений несовместна.

Второй этап (обратный ход) заключается в решении ступенчатой системы. Если в последнем уравнении новой системы содержится одно неизвестное, то исходная система имеет единственное решение. Из последнего уравнения находим , из предпоследнего уравнения , далее поднимаясь по системе вверх, найдем все остальные неизвестные , . Если в последнем уравнении преобразованной системы более чем одно неизвестное, то данная система имеет множество решений (система является неопределенной). Из последнего уравнения выражаем первое неизвестное через остальные неизвестные . Затем подставляем значение в предпоследнее уравнение системы и выражаем через и так далее. Придавая свободным неизвестным произвольные значения, получим бесчисленное множество решений системы. На практике удобно, чтобы коэффициент был равен 1 (уравнения переставить местами, либо разделить обе части первого уравнения на ).

Пример 37. Решить систему уравнений методом Гаусса:

Решение. Составим расширенную матрицу данной системы

Так как , , поменяем местами первую и вторую строки матрицы местами:

~ .

Сначала элементы первой строки умножим на (-2) и прибавим к соответствующим элементам второй строки, а затем элементы первой строки умножим на (-7) и прибавим к элементам третьей строки:

~ .

Элементы второй строки умножим на и прибавим к элементам третьей строки:

~ .

Восстановим систему по последней матрице

Получили систему, состоящую из двух уравнений и содержащую три неизвестных, то есть с помощью элементарных преобразований данную систему уравнений привели к ступенчатому виду, в которой нет уравнений вида , где . Поэтому система уравнений имеет бесчисленное множество решений. Выразим через из второго уравнения:

Подставим полученное выражение в первое уравнение:

Пусть , где С – любое действительное число, тогда полученное решение будет называться общим решением

Пусть , тогда получаем решение, которое будет называться частным решением системы:

Пример 38. Решить систему уравнений методом Гаусса

Решение. Составим расширенную матрицу данной системы уравнений

Элементы первой строки умножим на (-2) и прибавим к элементам второй строки, затем элементы первой строки умножим на (-7) и прибавим к элементам третьей строки:

~ .

Элементы второй строки умножим на (-3) и прибавим к элементам третьей строки:

~ .

Элементы третьей строки умножим на :

~ .

С помощью элементарных преобразований получили матрицу треугольного вида, значит, данная система уравнений имеет единственное решение.

С помощью полученной преобразованной расширенной матрицы запишем соответствующую систему уравнений

Зная значение , из второго уравнения находим :

или

Используя значения и , из первого уравнения находим :

или окончательно