Действия над матрицами

Определение. Суммой двух матриц и одинаковых размеров называется матрица того же размера такая, что

(10)

Пример 14. Найти сумму матриц и , если

Решение.

Для любых матриц и одинакового размера справедливы следующие свойства:

1.

2.

3. .

Определение. Произведением матрицы на число называется матрица такая, что

(11)

Пример 15. , . Найти .

Решение.

Матрица называется противоположной матрице .

Для любых матриц и одинакового размера и любых действительных чисел справедливы следующие свойства:

1.

2.

3.

4.

5. .

Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Оределение. Произведением матрицы на матрицу называется матрица такая, что

, (12)

где , .

Формулу (12) для нахождения элемента полезно помнить в виде правила:

в матрице выделяем - ю строку, в матрице выделяем -й столбец.

, .

Тогда для того, чтобы получить элемент матрицы , расположенный на пересечении i-й строки и k -го столбца, надо каждый элемент i -й строки матрицы умножить на соответствующий элемент k -го столбца матрицы и все полученные произведения сложить.

Если матрицы и квадратные одного размера, то произведения и всегда существуют.

Пример 16. Найти произведение матриц и , если .

Решение. Для получения первой строки новой матрицы фиксируем в матрице первую строку (2 0), а в матрице выделяем поочередно первый, второй и третий столбцы: .

Элемент находим как сумму произведений элементов первой строки матрицы на соответствующие элементы первого столбца матрицы по правилу: «произведение первого элемента строки на первый элемент столбца плюс произведение второго элемента строки на второй элемент столбца».

Пользуясь этим правилом, находим:

Для вычисления элементов , , фиксируем вторую строку матрицы (-1 3) и умножаем её поочередно на первый, второй и третий столбцы матрицы :

Пример 17. Даны матрицы

Найти и .

Решение. Произведение не определено, так как число столбцов матрицы (3) не совпадает с числом строк матрицы (2). Произведение определено, так как число столбцов матрицы (2) совпадает с числом строк матрицы (2).

Используя правило, рассмотренное в предыдущем примере, найдем произведение :

Матрицы и называются перестановочными, если .

Умножение матриц обладает следующими свойствами:

если указанные суммы и произведения матриц имеют смысл.

6. Если квадратная матрица n-го порядка, Е -единичная матрица того же порядка, то .

7. Для операции транспонирования верны следующие равенства:

Пример 18. Даны матрицы

Проверить справедливость равенства 5.

Решение. Найдем произведение :

Таким образом,

Пример 19. Даны матрицы

Показать, что

Решение. Найдем произведение матриц АВ:

Найдем

Получим

Пример 20. Даны две матрицы

Найти АВ.

Решение.

Пример 21. Найти значение матричного многочлена если , Е - единичная матрица третьего порядка.

Решение. . Найдем :

= ,

Пример 22. Найти произведение матриц , если оно определено, где

Решение. Рассмотрим матрицы и В. Размер матрицы , размер матрицы . Так как число столбцов матрицы (3) равно числу строк матрицы (3), то произведение определено, в результате получим матрицу размера .

Число столбцов матрицы (1) совпадает с числом строк матрицы (1), таким образом, произведение определено, получаемая матрица будет размера .

Найдем произведение :

Найдем произведение :