Системы линейных уравнений. Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида

Основные понятия

Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида:

(1.16)

где числа называются коэффициентами системы, числа - свободными членами.

Матрица, составленная из коэффициентов системы, называется основной матрицей и обозначается:

. (1.17)

Расширенной матрицей системы называется матрица , полученная из основной матрицы , дополненная столбцом свободных членов:

. (1.18)

Решение системы (1.16) называется n значений неизвестных , при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равенства. Всякое решение системы можно записать в виде матрицы-столбца

.

Определение. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Определение. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое ее решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением.

Решить систему – это значит выяснить, совместна она или несовместна. Если система совместна, найти ее общее решение.

Две системы называются эквивалентными (равносильными), если каждое решение одной из них является решением другой, и наоборот.

Эквивалентные системы получаются, в частности, при элементарных преобразованиях системы при условии, что преобразования выполняются лишь над строками матрицы.

Система линейных уравнений (1.16) называется однородной, если все свободные члены равны нулю.

(1.19)

Однородная система всегда совместна, так как является решением системы. Это решение называется нулевым или тривиальным.