Следовательно ,

(ab-a₁b₁)(ab₁-a₁b)=0. (2.6)

Пусть, например, ab=a₁b₁. Тогда согласно (2.4) имеем a₁b=ab₁. Из этих двух равенств следует aa₁b²=aa₁b₁², или b=b₁ и, далее, a=a₁. Если же в (2.6) положить ab₁-a₁b=0, тогда согласно (2.5) получаем a₁b₁=ab и опять из последних двух равенств вытекает, что a=a₁, и b=b₁, то есть ABCD- косой параллелограмм.

Свойство общего перпендикуляра диагоналей косого параллелограмма

Теорема. (О замечательном свойстве косого параллелограмма) Прямая, соединяющая середины его диагоналей, является осью параллелограмма.

Рисунок 2.3

Доказательство:

Пусть АВСD- косой параллелограмм, АС,BD – его диагонали (рис 2.3). В самом деле, если N-середина диагонали BD, а N₁- середина диагонали АС, то BN₁=DN₁ (как соответственные медианы в равных треугольниках ABC и ADC). Поэтому треугольник BN₁D равнобедренный и NN₁^BD. Аналогичным образом доказывается, что NN₁^AC. Следовательно, NN₁- общий перпендикуляр для АС и BD,проходящий через середины отрезков АС и ВD.

Это значит, что, точка А симметрична точке С относительно прямой NN₁, а точка В симметрична точке D относительно той же прямой. Если принять прямую NN₁ за ось симметрии, то в преобразовании симметрии относительно этой оси параллелограмм ABCD преобразуется в четырехугольник CDAB, то есть переходит в себя. Следовательно, NN₁ – ось симметрии параллелограмма.

Теорема. На общем перпендикуляре диагоналей косого параллелограмма расположены центроид, цент описанной сферы и центр вписанной сферы тетраэдра, вершинами которого служат вершины косого параллелограмма.

Доказательство:

Если около тетраэдра ABCD описать сферу, то в симметрии относительно NN₁, она переходит в себя. Следовательно, центр описанной сферы лежит на оси симметрии. Аналогично, на оси симметрии лежит центр сферы, вписанной в тетраэдр и его центроид.