![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Теорема Лейбница. Сумма квадратов расстояний произвольной точки Р до вершин косого четырехугольника (тетраэдра) А1А2А3А4 равна сумме квадратов расстояний его центроида G до вершин, сложенной с учетверенным квадратом расстояния точки Р до центроида G (рис. 1.4).
. (1.8)
Рисунок 1.4
Доказательство:
Пусть А1А2А3А4- косой четырехугольник, G- его центроид и Р- произвольная точка (рис.1.4). Рассмотрим треугольники A1PG, A2PG, A3PG, A4PG. Учитывая, что
,
,
,
и
,
,
,
,
получим:
Но , что непосредственно следует из (1.1) при условии, если полюс помещен в точку G. Следовательно, равенство (1.8) доказано.
Теорема Менелая. Пусть на прямых А1А2, А2А3, А3А4, А4А3 определяющих косой четырехугольник А1А2А3А4 даны соответственно точки P12,Р23,Р34,Р41. Для того чтобы эти точки лежали в одной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы:
. (1.9)
Доказательство:
Для доказательства указанные отношения обозначим:
,
,
,
Тогда необходимо доказать, что l1l2l3l4=1.
,
.
Аналогично для l2,l3,,l4. тогда:
. (1.10)
(i=1,2,3,4; j=i+1, если i=1,2,3, и j=1,если i=4).
Из (1.2)
Следовательно матрица нормированных барицентрических координат точек Pij относительно тетраэдра А1А2А3А4 будет иметь вид:
При помощи элементарных преобразований строк матрица может быть приведена к
Так как элементарные преобразования не изменяют ранга матрицы, то ранги матриц и
одинаковы. Очевидно, ранг матрицы
не ниже трех. Для того, что бы он был равен трем, необходимо и достаточно, что бы
=1. При этом и только при этом условии точки Pij будут лежать в одной плоскости.
Теорема Чевы.. Пусть на прямых A1A2, А2А3, А3А4, А4А1, определяющих косой четырехугольник А1А2А3А4, даны точки Р12,Р23,Р34, Р41. Для того, чтобы плоскости Р12А3А4, Р23А4А1, Р34А1А2, Р41А2А3 пересекались в одной точке Р, необходимо и достаточно, чтобы
(1.11)
Рисунок 1.5
Доказательство:
Необходимость. Пусть А1А2А3А4- косой четырехугольник, прямые РА1, РА2,РА3,РА4 пересекают плоскости А2А3А4, А3А4А1, А4А1А2, А1А2А3 в точках Р1,Р2,Р3,Р4 (рис. 1.5). По теореме Чевы1) для треугольника А1А2А3 и точки Р4 имеем
.
По той же теореме для треугольника А3А4А1 и точки Р2:
.
Дата публикования: 2015-10-09; Прочитано: 437 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!