Зависимость между сторонами и диагоналями косого четырехугольника

Рассмотрим тетраэдр А₁А₂А₃А₄. Проведем через вершины А₁, А₂, А₃ произвольную сферу F, пересекающую ребра (прямые) А₄А₁, А₄А₂, А₄А₃ соответственно в точках Р₁, Р₂, Р₃. Тогда плоскость Р₁Р₂Р₃ параллельна касательной плоскости в точке А₄ к описанной около тетраэдра сфере. Для доказательства этого достаточно заметить, что прямые Р₁Р₂, Р₂Р₃, Р₃Р₁ соответственно параллельны прямым пересечения касательной плоскости и плоскостей граней тетраэдра. На рисунке 2.1 изображена фигура, полученная в плоскости А₄А₁А₂.

Треугольник Р₁Р₂Р₃ называется антипараллельным сечением тетраэдра относительно вершины А₄. Прямые Р_iP_j называются антипараллельными прямым A_iA_j (i,j=1,2,3).

Рисунок 2.1

Рассмотрим одно свойство сторон треугольника Р₁Р₂Р₃. Пусть А_iA_j= а _ij и s-степень точки А₄ относительно сферы F, то есть

. (2.1)

Разделим все на

.

Из подобия треугольников А₁А₄А₂ и Р₂Р₁А₄ получаем

Þ .

Из подобия треугольников А₂А₃А₄ и Р₃Р₂А₄

Þ .

Из подобия треугольников А₁А₃А₄ и Р₃Р₁А₄

Þ .

Учитывая эти равенства, находим:

,

. (2.2)

Итак, длины сторон антипараллельного сечения тетраэдра пропорциональны произведениям длин пар его противоположных ребер.

Поэтому антипараллельные сечения тетраэдра относительно всех его вершин подобны между собой.

Из свойств сторон треугольника Р₁Р₂Р₃, являющегося антипараллельным сечением тетраэдра А₁А₂А₃А₄ сразу следует

,

,

,

,

,

. (2.3)

Таким образом, сумма произведений противоположных сторон косого четырехугольника больше произведений его диагоналей. Это означает также, что сумма произведений двух пар противоположных ребер тетраэдра больше произведения третьей пары его противоположных ребер.