Сумма углов косого четырехугольника

Теорема. Сумма d внутренних углов косого четырехугольника меньше 2p.

Доказательство:

Так как сумма любых двух плоских углов трехгранного угла больше третьего плоского угла, то для косого четырехугольника А₁А₂А₃А₄ имеем неравенства:

ÐA₂A₁A₄ < ÐA₃A₁A₄+ÐA₂A₁A₃,

ÐA₁A₂A₃ < ÐA₁A₂A₄+ÐA₃A₂A₄,

ÐA₂A₃A₄ < ÐA₁A₃A₄+ÐA₁A₃A₂,

ÐA₁A₄A₃ < ÐA₁A₄A₂+ÐA₂A₄A₃.

Сумма

d=ÐA₁A₂A₃+A₂A₁A₄+ÐA₂A₃A₄+ÐA₁A₄A₃

меньше суммы углов треугольников A₁A₂A₃, A₁A₂A₄, A₁A₃A₄, A₂A₃A₄, уменьшенной на d:

d < (ÐA₃A₁A₄+ÐA₁A₃A₄)+(ÐA₂A₁A₃+ÐA₁A₃A₂)+(ÐA₁A₂A₄+ÐA₁A₄A₂)+

+(ÐA₃A₂A₄+ÐA₂A₄A₃),

d < (ÐA₃A₁A₄+ÐA₁A₃A₄+ÐA₃A₄A₁-ÐA₃A₄A₁)+

+(ÐA₂A₁A₃+A₁A₃A₂+ÐA₃A₂A₁-ÐA₃A₂A₁)+

+(ÐA₁A₂A₄+ÐA₁A₄A₂+ÐA₂A₁A₄-ÐA₂A₁A₄)+

+(ÐA₃A₂A₄+ÐA₂A₄A₃+ÐA₂A₃A₄-ÐA₂A₃A₄);

или

d < p+p+p+p-d,

d < 4p-d,

2d < 4p,

d < 2p.