Косой параллелограмм

Под косым параллелограммом мы понимаем косой четырехугольник, у которого противоположные стороны равны. Если ABCD – косой параллелограмм, то AB=CD, BC=DA, или а=а₁, b=b₁, если АВ=а, CD=а₁, ВС=b, DA=b₁ (рис.2.2).

Рисунок 2.2

Теорема. Для того, чтобы косой четырехугольник был косым параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы его противоположные углы были попарно равны.

Доказательство:

Необходимость. У косого параллелограмма противоположные углы равны: ÐА=ÐС, ÐB=ÐD. В самом деле,если BD-диагональ параллелограмма, то треугольники ABD и BCD равны, (n-общая, а=а₁, b=b₁) поэтому ÐА=ÐС. Аналогично доказываются равенство ÐB=ÐD.

Достаточность. Если в косом четырехугольнике противоположные углы попарно равны, то он является косым параллелограммом.

Положим AC=m, BD=n. По теореме конусов имеем:

n²=a²+b₁²-2ab₁cos A- из треугольника ABD,

n²=a₁²+b²-2a₁bcos C- из треугольника BCD,

m²=a²+b²-2abcos B- из треугольника ABC,

m²=a₁²+b₁²-2a₁b₁cos D- из треугольника ADC.

а) cos A = , cos C= ,

б) cos B= , cos D= .

Отсюда:

а) = ,

б) = .

Преобразуем эти два равенства:

а) (а²+b₁²-n²)a₁b=(a₁²+b²-n²)ab₁,

(a²+b₁²)a₁b-(a₁²+b²)ab₁=n²(a₁b-ab₁).

б) (a²+b²-m²)a₁b₁=(a₁²+b₁²-m²)ab,

(a²+b²)a₁b₁-(a₁²+b₁²)ab=m²(a₁b₁-ab).

Или

а) a²a₁b₁+b₁²a₁b-a₁²ab₁-b²ab₁=n²(a₁b-ab₁),

aa₁(ab-a₁b₁)+bb₁(a₁b₁-ab)=n²(a₁b-ab₁),

(ab-a₁b₁)(aа₁-b₁b)=n²(a₁b-ab₁). (2.4)

б) a²a₁b₁+b²a₁b₁-a₁²ab-b₁²ab=m²(a₁b₁-ab),

aa₁(ab₁-a₁b)+bb₁(ba₁-b₁a)=m²(a₁b₁-ab),

(aa₁-bb₁)(ab₁-a₁b)=m²(a₁b₁-ab). (2.5)

Эти равенства умножим почленно:

(aa₁-bb₁)²(ab-a₁b₁)(ab₁-a₁b)=m²n²(a₁b-ab₁)(a₁b₁-ab).

Отсюда получим:

(ab-a₁b₁)(ab₁-a₁b)[(aa₁-bb₁)²-m²n²]=0,

или

(ab-a₁b₁)(ab₁-a₁b)(aa₁-bb₁-mn)(aa₁-bb₁+mn)=0

В силу неравенства (2.3)

Þ(aa₁-bb₁-mn)(aa₁-bb₁+mn)<0, то есть ¹0.