Условный экстремум

Пусть в области задана функция и некоторое дополнительное условие ,называемое уравнением связи. Точка называется точкой условного (относительного) максимума (минимума) функции , если существует такая окрестность точки , что для любой точки , находящейся в и удовлетворяющей уравнению связи, выполняется неравенство

.

При определении обычного экстремума значение функции в точке сравнивается со всеми ее значениями в достаточно малой окрестности этой точки. А при определении условного экстремума из малой окрестности точки выбираются только те точки, которые лежат на линии , определяемой уравнением связи.

Пример 1. Найти экстремум функции при условии .

Решение. Для решения этой задачи применим прямой метод. Выразим из уравнения связи одну переменную (например, ):

Подставим полученное выражение в заданную функцию:

.

Задача сведена к исследованию на обычный экстремум функции одной переменной .

Решаем уравнение – это точка минимума (так как ). На линии этому значению соответствует точка . Геометрически это значит, что точка , лежащая на параболоиде и проектирующаяся в точку , является самой низкой из всех точек параболоида, лежащих над прямой . ☻

Однако не всегда удается разрешить уравнение связи относительно одной из переменных (тем более что для большего числа переменных имеется система уравнений связи). В этих случаях применяют метод Лагранжа (подробнее о методе неопределенных множителей Лагранжа см. ).