Старшие производные

Так же, как и для одной переменной, определяем старшие производные функции многих переменных:

; и т.д.

Такие производные для функций многих переменных называются «чистыми». Если же после взятия первой производной по переменной мы хотим результат продифференцировать по другой переменной, например, по , то получим «смешанную» производную

Ясно, что так можно построить старшие производные любого порядка по всем переменным.

Пример 1. Найти частные производные 1-го и 2-го порядка от функции

.

Решение. Фиксируем и дифференцируем функцию по переменной :

.

Фиксируем и дифференцируем по переменной :

.

Далее находим последовательно

Обращаем внимание на полученный результат:

. ☻

Смешанные производные и , вообще говоря, не равны. Однако справедливо утверждение, которым обычно пользуются:

Теорема. Если частные производные функции существуют в окрестности точки и непрерывны в точке , то вторые смешанные производные не зависят от порядка вычисления.

Аналогичное утверждение справедливо и для смешанных производных -го порядка.