Итерациялық үрдістің жинақтылығының жеткілікті шарты

(4) бейнелеудің жинақты болу шарттарын қарастырайық. (8) анықтамадан бұл мәселенің шешімі кеңістіктің метрикасы тәуелді болатынын көреміз. Айталық мен нүктелер өлшемді кеңістіктің нүктелері болсын.

Итерация әдісін практика жүзінде пайдаланғанда

а) (9)

б) (10)

в) (11)

метрикалардың біреуін қолдану тиімді.

Ж аттығу. Жоғарыда көрсетілген үш метриканың кезкелгенін енгізгенде кеңістік толық метрикалық кеңістік болатынын көрсетіңдер. Осы метриканың үшеуінің кемінде біреуі енгізілген (5) бейнелеудің сығып бейнелеу болуының шарттарын қарастырайық. Бұл шарттар түптеп келгенде (4) жүйенің белгісіздерінің коэффициенттері арқылы өрнектеледі:

Сөйтіп, метрикалық кеңістікте (5) теңдеулермен берілген бейнелеудің сығып бейнелеу болуы үшін а) метрикасы бар кеңістікте

(12)

болуы, яғни (4) жүйенің оң жағының белгісіздерінің коэффициенттерінің модульдерінен жолдар бойынша алынған максималь қосындысы бірден кіші болуы керек.

б) метрикасы бар кеңістікте (13)

болуы, яғни (4) жүйенің оң жағының белгісіздерінің коэффициенттерінің модульдерінен бағандар бойынша алынған максималь қосындысы бірден кем болуы керек

в) метрикасы бар кеңістікте

(14)

болуы, яғни (4) жүйенің оң жағындағы белгісіздердің барлық коэффициенттерінің квадраттарының қосындысы бірден кем болуы керек. (12)-(14) шарттарды қорытып шығару оңай. Мысал үшін (12) шартты қорытуды қарастырайық.

және

нүктелер үшін (5) бойынша теңдік аламыз. Одан абсолют шаманың қажеті бойынша (15)

теңсіздіктер аламыз.

Егер (15) теңсіздіктердегі әрбір модульді мәнмен ауыстырсақ онда ол теңсіздіктер күшейе түседі, яғни

теңсіздіктер аламыз.

-ті тұрақты шама ретінде қосынды таңбасының алдына шығаруға болады, ал қосындыны оның максималь мәнімен ауыстырамыз, сонда

, (16)

теңсіздік аламыз. (16) теңсіздік барлық дер үшін дұрыс болатындықтан, ол болатындай үшін де дұрыс болады. (17)-формуланы (16) – формуламен салыстыру нәтижесінде (12) -ні аламыз.

(12) –(14) шарттардың әрқайсысы (5) бейнелеудің сығып бейнелеу болуының жеткілікті шарты болатынын ескерте кетейік. Сонымен бірге (15) шарттардың әрқайсысы (5) бейнелеудің ( метрикасы бойынша) сығып бейнелеу болуының қажетті шарты да болады.