Симплекстік-кесте

Симплекс әдісі бойынша қолмен есептеуді симплекс кесте түрінде өрнектеген ыңғайлы.Симплекс кестесін құру қолайлы болу үшін (3.12) шектеулі жүйесін мына түрде жазамыз:

(3.17)

және мақсатты функция келесі теңдіктен анықталсын:

f+c_r+1x_r+1+…+c_nx_n=c_{0 (3.18)}

Келтірілген (3.17-3.18) берілгендері бойынша алғашқы симплекс кестесі 3.3 кесте трінде көрсетуге болады.

3.3 кесте

Базистік белгісіздер Х1	Бос мүшелер b1	X1…xi…xr xr+1 1…0…0 a1,r+1	…xj …a1j	…xn …aij … a1n
...	...	… … … …	... …	… …
→хі	bі	0… 1 …0 ai,r+1	…aij	… ain
...	...	… …... …	… …	… …
хr	br	0 … 0 … 1 ar,r+1	…arj	…arn
f формасы		Jkf0… 0 … 0 cr+1	…... cj	…/ …cn

3.3.кестеге енгізілген симплекс әдісінің алгоритмін тұжырымдайық..

1. Кестенің соңғы жолына барлық сандар теріс болса, онда процесс аяқталады. Базисттік шешімі үйлесімді болады және 7/3 арасынан ең кішісін таңдап, оң шешуші элементін белгілеп қоямыз. Жаңа базиске х₁ белгісізінің орнына х₅ белгісізі кіреді. Шешуші элемент бірге тең болағндықтан, белгіленген жолды өзгеріссіз жаңа 3.5 кестеге ауыстырамыз. Қалған жолдарды алгоритмге сәйкестендіріп, х₅ болғанында нолдер пайда болатындай өзгертеміз

3.4 кесте

Базистік белгісіздер	Бос мүшелер	X1	xi	X3	X4	X5
→хі					-1
х2
х2						-2
f формасы					-1

3.5 кестеде симплекс алгоритмін бірінші кезеңнен бастап қайтадан қолданамыз. Себебі соңғы жолда оң элемент бар, осымен прцесс аяқталмайды. Түрлендірулердің нәтижесінде 3.6 кесте пайда болады, мұнда соңғы жолда оң элементтер жоқ. Бұл соңғы базистік шешім (0;0;5;2;0;2;2;2;) үйлесімді екенін көрсетеді. Мақсатты функцияның сәйкес мәні f = 1,2 болады. Осылайша есеп шешілді.

3.5 кесте

Базистік белгісіздер	Бос мүшелер	X1	xi	X3	X4	X5
X5					-1
→х2		-3
X3					-1
f формасы		-2

3.6 кесте

Базистік белгісіздер	Бос мүшелер	X1	X2	X3	X4	X5
X5	2,2	0,4	0,2
X4	0,2	-0,6	0,2
X3	5,2	1,4	0,2
f формасы	-1,2	-1,4	-0,2

Сонымен шешіміміз: х1=0б, х2=0, х3=5.2, х4=0.2, х5=2.2

Дәріс №8-9. Функцияларды интерполяциялау және функциялардың жуықтауы

Жоспар:

1. Функцияларды интерполяциялау есебі.

2. Лагранждың интерполяцияланған көпмүшелігін құру және оның қателігін бағалау.

3. Чебышев көпмүшелігі. Интерполяцияланған көпмүшелік.

4. Эйткен есептеу схемасы. Бөлінетін айырымдар және олардың қасиеттері.

Кілттік сөздер: функция, интерполяция, көпмүшелік, интерполяциялық түйіндер

1. Айталық, f функциясының белгілі мәндері келесі таблицалық түрде берілсін.

х	х0	х1	...	х n
f(x)	y0	y1	…	yn

Сонда [x₀ және x_n] кесінділеріне кіретін, бірақ оның ешқандай мәнімен

x_i (i =0,1,2,…,n) сәйкес келмейтін х мәні үшін f(x) функцияның мәнін анықтау керек.

f(x) = F(x) (1)

Жуықталған функцияны құруды шешудің классикалық жолы x_i (i =1,2,…,n) нүктелерінде f(x) және F(x) функцияларына мәндері қатаң түрде сәйкес келуіне негізделеді, яғни

F(x₀)=y₀, F(x₁)=y_1,…, F(x_n)=y_n (2)

Бұл жағдайда жуықталған функцияның табылуы интерполяция деп аталады, ал х_0,х_1,х₂,...,х _n нүктелерді интерполяциялық түйіндер деп атайды.

Функцияларды интерполяциялаудың жалпы формуласын қорытып шығару қарастырылады.

2. Айталық, f функциясы келесі кесте түрінде берілсін:

х	х0	х1	...	х n
f(x)	y0	y1	…	yn

Енді біз Лагранждың интерполяцияланған көпмүшелігін құрайық оны L_n(x)-деп белгілейік. Лагранждың интерполяцияланған көпмүшелігінің дәрежесі n-нан аспау керек және ол үшін F(x₀)=y₀, F(x₁)=y_1,…, F(x_n)=y_n шарты орындалуы тиіс.

(3)

Яғни бұл интерполяцияланған Лагранж көпмүшелігі болып табылады.

Лагранждың интерполяцияланған көпмүшелігінің мәнін табу мақсатында ЭЕМ-де программа құру үшін (1) формуланы қолданамыз.

Жалпы алгоритмнің жұмысы екі циклдан тұрады: ішкі және сыртқы. Лагранждың формуласы дұрыс құрылған көпмүшеліктердің қосындысымен, яғни L_i(x) – көпмүшелігімен қамтамасыз етіледі. Қорытынды нәтиже f айнымалысы болып табылады.

Дәріс №10-11. Сандық дифференциалдау және интерполяциялау

1. Сандық дифференциалдаудың қажеттілігі.

2. Сандық дифференциалдау есебінің қойылуы және ерекшелігі.

3. Тең қадамды түйіндер үшін Ньютонның интерполяцияланған көпмүшелігі.

Кілттік сөздер: т ең қадамды түйіндер, жуықтаулар, сандық дифференциалдау, түйіндер, интерполяциялық көпмүшеліктер

1. Сандық дифференциалдаудың қажеттілігі.

Аргументтері бірдей қашықтықтағы мәндері мен кесте түрінде берілген функция үшін интерполяциялау жиі жүргізіледі. Бұл жағдайда таблицаның қадамы f=x_(i+1)-x_i (i=1,2,…) тұрақты шама болады. Осындай таблица үшін интерполяциялық формуланы құру айтарлықтай ықшамдалады.

Соңғы айрымдар. Кез келген реттің соңғы айырмасын функция мәні арқылы беруге болады. Ньютонның интерполяцияланған көпмүшелігі екі формулаға бөлінеді: Ньютонның 1- ші интерполяциялық формуласы және Ньютонның 2- ші интерполяциялық формуласы.

Ньютонның 1- ші интерполяциялық формуласын алдын ала интерполяциялау депатайды. Мұнда х₀ –дің бастапқы мәні үшін, х аргументінің кестедегі кез келген мәнін алуға болады:

(1)

Бұл формуланы Ньютонның 1- ші интерполяциялық формуласы деп атайды.

(2)

Бұл формуланы Ньютонның 2- ші интерполяциялық формуласы деп атайды.

Интерполияциялау көпмүшелігінің қателігі Лагранждың және Ньютонның интерполяцияланған көпмүшелігіне қатар жүргізіледі.

2. Сандық дифференциалдау есебі. Сандық дифференциалдау есебінің ерекшелігі.

Кейде аналитикалық берілген функцияны күрделілігіне байланысты оның туындыларын табу қиынға түседі немесе туындыларды табуға арналған өрнектерді қандайда бір түрге әкелу ыңғайсыз болуы мүмкін. Мұндай жағдайда біз жуықтап есептеу немесе сандық дифференциалдауды қолданамыз.

Егер функция кестелік түрде берілсе, онда мұндай әдістерді қолдану қажеттілігі туындайды. Сондықтан, сандық дифференциалдау есептерін шешудің бір әдісі интерполяцияланған көпмүшелікті қолдану.