![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Степенным рядом называется ряд:
, (15.1)
членами которого являются степенные функции с возрастающими целыми показателями, числа
коэффициенты данного ряда. Виражение
– общий член степенного ряда.
Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида:
(15.2)
Этот ряд легко привести к предыдущему, если считать .
Областью сходимости степенного ряда называется множество значений , при которых степенной ряд сходится.
Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится для некоторого значения , не равного нулю, то он сходится абсолютно для всех значений
, для которых выполняется условие:
. (15.3)
Если степенной ряд расходится для некоторого значения , то он расходитсяся для всех значений
, для которых выполняется условие:
. (15.4)
Из теоремы Абеля вытекает, что для произвольного степенного ряда существует положительное число (конечное или бесконечное), такое, что для всех
ряд сходится, причем абсолютно, а при
ряд расходится.
Интервал , во всех точках которого степенной ряд сходится, а в точках, которые не принадлежат данному интервалу, степенной ряд расходится называется интервалом сходимости данного ряда.
Половина интервала сходимости называется радиусом сходимости степенного ряда. Если , то интервал сходимости составляет всю числовую ось
. Если
, то степенной ряд сходится лишь при
, то есть интервал сходимости вырождается в точку.
Для решения вопроса о сходимости степенного ряда применяют признак Даламбера к ряду, который составлен из абсолютных величин его членов, то есть вычисляют предел:
и сравниваю ее с единицей.
Множество значений для которых
, образует область абсолютной сходимости степенного ряда (15.1). Множество значений
, для которых
, образует область расходимости.
Следовательно,
, а
,
где – радиус сходимости степенного ряда.
То есть, . (15.5)
Пример 1. Найти область сходимости степенного ряда .
Решение.
Обозначим , тогда
. Дальше получаем:
.
.
Последнее неравенство выполняется для любого , то есть ряд сходится на всей числовой оси:
.
Можно сразу найти , поскольку степенной ряд содержит все степени
:
.
Таким образом, ряд сходится на всей числовой оси.
Пример 2. Найти область сходимости степенного ряда .Решение.
В этом степенном ряду коэффициенты при четных степенях равны нулю, то есть
. Непосредственное применение признака Даламбера дает:
,
откуда получаем, что , следовательно
.
Исследуем поведение степенного ряда на концах интервала сходимости.
Пусть . Подставим это значение в степенной ряд и получим числовой ряд:
,
поведение которого определяется поведением гармоничного ряда. Следовательно этот ряд расходящийсяпо признаку сравнения в предельной форме.
Пусть . При этом значении
степенной ряд превращается в числовой ряд:
. Этот ряд, как уже было показано, являетсярасходящимся.
Таким образом, область сходимости ряда является интервалом .
Пример 3. Найти область сходимости ряда .
Решение.
Обозначим . Следовательно
– степенной ряд.
Тогда .
Для нахождения радиуса сходимости теперь можно применить формулу:
.
Исследуем поведение ряда на концах полученного интервала.
При получим числовой ряд:
. Этот ряд сходится согласно признаку Лейбница.
При числовой ряд имеет вид:
. Он сходится, как ряд Дирихле при
.
Следовательно, областью сходимости ряда будет промежуток . Возвращаясь к переменной
, получим
, или
.
Таким образом, областью сходимости данного ряда является промежуток .
Дата публикования: 2015-10-09; Прочитано: 719 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!