![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Степенной ряд (1.2) представляет собой функцию , определенную в интервале сходимости
, т. е.
.
Приведем несколько свойств функции .
Свойство 1. Функция является непрерывной на любом отрезке
, принадлежащем интервалу сходимости
.
Свойство 2. Функция дифференцируема на интервале
, и ее производная
может быть найдена почленным дифференцированием ряда (1.2), т. е.
,
для всех .
Свойство 3. Неопределенный интеграл от функции для всех
может быть получен почленным интегрированием ряда (1.2), т. е.
для всех .
Следует отметить, что при почленном дифференцировании и интегрировании степенного ряда его радиус сходимости R не меняется, однако его сходимость на концах интервала может измениться.
Приведенные свойства справедливы также и для степенных рядов (1.1).
Пример 2.1. Рассмотрим степенной ряд
.
Область сходимости этого ряда, как показано в примере 1.1, есть промежуток .
Почленно продифференцируем этот ряд:
.(2.1)
По свойству 2 интервал сходимости полученного степенного ряда (2.1) есть интервал .
Исследуем поведение этого ряда на концах интервала сходимости, т. е. при и при
.
При степенной ряд (2.1) превращается в числовой ряд
.
Этот числовой ряд расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости :
, который не существует.
При степенной ряд (2.1) превращается в числовой ряд
,
который также расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости.
Следовательно, область сходимости степенного ряда, полученного при почленном дифференцировании исходного степенного ряда, изменилась и совпадает с интервалом .
Дата публикования: 2015-10-09; Прочитано: 194 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!