![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пусть – дифференцируемая бесконечное число раз функция в окрестности точки
, т. е. имеет производные любых порядков.
Определение 3.1. Рядом Тейлора функции в точке
называется степенной ряд
. (3.1)
В частном случае при ряд (3.1) называется рядом Маклорена:
. (3.2)
Возникает вопрос: в каких случаях ряд Тейлора для дифференцированной бесконечное число раз функции в окрестности точки
совпадает с функцией
?
Возможны случаи, когда ряд Тейлора функции сходится, однако его сумма не равна
.
Приведем достаточное условие сходимости ряда Тейлора функции к этой функции.
Теорема 3.1:
если в интервале функция
имеет производные любого порядка и все они по абсолютной величине ограничены одним и тем же числом, т. е.
, то ряд Тейлора этой функции сходится к
для любого х из этого интервала
, т. е. имеет место равенство
.
Для выяснения выполнения этого равенства на концах интервала сходимости требуются отдельные исследования.
Следует отметить, что если функция разлагается в степенной ряд, то этот ряд является рядом Тейлора (Маклорена) этой функции, причем это разложение единственно.
Дата публикования: 2015-10-09; Прочитано: 155 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!