Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Ряды Тейлора, Маклорена для функций



Пусть – дифференцируемая бесконечное число раз функция в окрестности точки , т. е. имеет производные любых порядков.

Определение 3.1. Рядом Тейлора функции в точке называется степенной ряд

. (3.1)

В частном случае при ряд (3.1) называется рядом Маклорена:

. (3.2)

Возникает вопрос: в каких случаях ряд Тейлора для дифференцированной бесконечное число раз функции в окрестности точки совпадает с функцией ?

Возможны случаи, когда ряд Тейлора функции сходится, однако его сумма не равна .

Приведем достаточное условие сходимости ряда Тейлора функции к этой функции.

Теорема 3.1:

если в интервале функция имеет производные любого порядка и все они по абсолютной величине ограничены одним и тем же числом, т. е. , то ряд Тейлора этой функции сходится к для любого х из этого интервала , т. е. имеет место равенство

.

Для выяснения выполнения этого равенства на концах интервала сходимости требуются отдельные исследования.

Следует отметить, что если функция разлагается в степенной ряд, то этот ряд является рядом Тейлора (Маклорена) этой функции, причем это разложение единственно.





Дата публикования: 2015-10-09; Прочитано: 155 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2025 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.01 с)...