![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Степенным рядом называется ряд вида
Степенной ряд заведомо сходится при - центр сходимости ряда.
1) Пусть степенной ряд сходится в точке . Тогда он абсолютно сходится в интервале
, симметричном относительно
.
2) Пусть степенной ряд расходится в точке . Тогда он расходится в области
.
Доказательство.
1) Пусть степенной ряд сходится в точке , тогда числовой ряд
сходится. Тогда по необходимому признаку сходимости ряда
. Тогда
.
Рассмотрим произвольное, но фиксированное .
Оценим ,
где .
По первому признаку сравнения числовых знакоположительных рядов ряд сходится в указанной области (сравнение с бесконечно убывающей геометрической прогрессией
. Следовательно, в области
степенной ряд абсолютно сходится.
2) Пусть степенной ряд расходится в точке . Рассмотрим
. Если бы ряд сходился в точке x, то он по п. 1 доказательства сходился бы в точке
. Противоречие.
Замечание. Для каждой точки x константа q(x) своя. Может не найтись константы, меньшей единицы и ограничивающей сверху константы q(x) для всех точек области V.
Поэтому абсолютная сходимость есть, но равномерной сходимости степенного ряда в области V не гарантируется.
Если такая константа найдется, то гарантируется равномерная сходимость ряда.
Рассмотрим монотонно убывающую последовательность , такую, что в точке
степенной ряд
расходится. Если выбрать
, то степенной ряд будет сходиться (ряд из нулей), поэтому рассматриваемая последовательность ограничена снизу нулем. По теореме Вейерштрасса монотонно убывающая, ограниченная снизу числовая последовательность имеет предел. То есть
.
Такое число называется радиусом сходимости степенного ряда. Следовательно, степенной ряд (по теореме Абеля) абсолютно сходится в интервале
сходимости степенного ряда.
Дата публикования: 2015-10-09; Прочитано: 194 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!