Лекция 26. Степенные ряды

26.1. Понятие степенного ряда.

На практике часто применяется разложение функций в степенной ряд.

Определение. Степенным рядом называется ряд вида

.

Для исследования на сходимость степенных рядов удобно использовать признак Даламбера.

Пример. Исследовать на сходимость ряд

Применяем признак Даламбера:

.

Получаем, что этот ряд сходится при и расходится при .

Теперь определим сходимость в граничных точках 1 и –1.

При х = 1: ряд сходится по признаку Лейбница (см. Признак Лейбница).

При х = -1: ряд расходится (гармонический ряд).