![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Функциональные ряды вида , где
(n=1,2,…) и a–заданные комплексные числа,
-комплексное переменное, называют степенными рядами, а числа
-коэффициентами степенного ряда (1). Полагая в (1) z=
-а, получим ряд
(2), исследование сходимости которого эквивалентно исследованию сходимости ряда (1).
Теорема 1 (Абеля). Если степенной ряд (2) сходится при z= 0, то он сходится, и притом абсолютно, при любом z таком, что | z |<|
|; а если этот ряд расходится при z=
0, то он расходится при всяком z, для которого | z |>|
|.
а) Пусть ={z: | z |<|
|}- круг на комплексной плоскости с центром в точке О радиуса |
|, и пусть z – произвольная точка круга
, т.е. | z |<|
|, поэтому q=|z/
|<1. (3) Так как ряд (2) сходится в точке
, то должно выполняться условие
, откуда следует ограниченность последовательности {
},т.е.
M. Используя неравенство (3) и (4), получаем |
|=|
|*| z/
M
, где
. (5) Так как ряд
, где
, сходится, то по признаку сравнения сходится ряд
,т.е. ряд (2) сходится абсолютно в каждой точке круга
.
б) Пусть ряд (2) расходится в точке . Тогда он должен расходиться в любой точке
такой, что |
|<|
|, так как в противном случае по доказанному выше ряд (2) сходился бы в точке
.
Теорема 2. Для всякого степенного ряда (2) существует R( -число или
) такое, что: а) если
и
, то ряд (2) абсолютно сходится в круге К={z: |z|<R}и расходится вне круга K; этот круг называют кругом сходимости ряда (2), а R-радиусом сходимости ряда;
б) если R=0, то ряд (2) сходится в одной точке z=0;
в) если , то этот ряд сходится во всей комплексной плоскости.
Теорема 3 (Абеля). Если R-радиус сходимости степенного ряда (2), причем , и если этот ряд сходится z=R, то он сходится равномерно на отрезке [0,R], а его сумма непрерывна на этом отрезке.
Теорема 4. Если существует конечный или бесконечный , то для радиуса R сходимости ряда (2) справедлива формула 1/R=
, а если существует конечный и бесконечный
, то R=
.
0,
.
Дата публикования: 2015-10-09; Прочитано: 233 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!